Résonance (fréquence de)

La fréquence de résonance est la fréquence d’excitation entretenue pour laquelle un système oscille avec une amplitude maximale. Elle est très voisine de la fréquence propre f₀ du système, propriété qui ne dépend que de lui, tant que l’amortissement reste faible.

Observer expérimentalement la résonance

FizziQ dispose d’un analyseur de spectre (FFT) et d’un synthétiseur de fréquences. Le premier révèle la fréquence propre d’un objet qu’on excite brièvement ; le second permet de balayer les fréquences pour tracer une véritable courbe de résonance.

Étapes :

• Choisir un résonateur simple : bouteille en verre, tube à essai, éprouvette graduée
• Ouvrir l’analyseur de spectre de FizziQ et l’approcher de l’ouverture
• Souffler en biais sur le goulot pour exciter la cavité, et relever la fréquence du pic principal : c’est f₀
• Faire varier la hauteur d’eau dans la bouteille, donc le volume d’air, et relever f₀ à chaque fois
• Tracer f₀ en fonction du volume V et vérifier la décroissance en 1/√V
• Variante quantitative : émettre avec le synthétiseur un balayage lent de fréquences, mesurer au sonomètre le niveau restitué, et tracer l’amplitude en fonction de f pour faire apparaître le pic de résonance

Activités scientifiques sur ce thème

En mesurant la fréquence de résonance de certaines cavités, on peut notamment calculer la vitesse du son de manière très précise :

• Vitesse du son avec une éprouvette : souffler dans un tube à essai et remonter à la vitesse du son par la fréquence propre
• Résonance de Helmholtz : le son d’une bouteille : mesurer la fréquence émise en débouchant une bouteille et la relier au volume
• Fréquence dominante dans un tube : exciter un tuyau et identifier ses modes de résonance
• Oscillateur masse-ressort : mesurer la période propre : vérifier expérimentalement la loi T₀ = 2π√(m/k)
• Colonnes d’air et hauteur du son : construire un instrument à partir de tubes de longueurs différentes
• Spectre des voyelles chantées : repérer les formants, résonances du conduit vocal qui distinguent un « a » d’un « i »
• Ondes de Faraday stationnaires : faire apparaître des motifs stationnaires en excitant un liquide à sa fréquence propre

En savoir plus

Le mécanisme : une accumulation d’énergie

Pourquoi l’amplitude devient-elle si grande ? Parce qu’à la résonance, l’excitation « pousse » toujours au bon moment, dans le sens du mouvement. À chaque cycle, elle fournit un peu d’énergie que le système accumule. L’image classique est celle de la balançoire : en poussant au rythme naturel de l’oscillation, de petites poussées suffisent à obtenir de grandes amplitudes. Si l’on pousse à contretemps, on freine.

L’amplitude ne croît pas indéfiniment pour autant : elle se stabilise lorsque la puissance dissipée par les frottements égale la puissance fournie par l’excitation.

Le rôle de l’amortissement

L’amortissement gouverne l’acuité du pic de résonance, que l’on quantifie par le facteur de qualité Q. Plus l’amortissement est faible, plus Q est grand, plus le pic est haut et étroit : le système ne répond fortement que dans une bande de fréquences très resserrée. Inversement, un système fortement amorti présente un pic bas et large, et répond mollement sur une large plage.

Ordres de grandeur : un diapason a un Q de quelques milliers : il sonne longtemps et à une fréquence très pure. Un amortisseur de voiture, conçu pour ne pas osciller, a un Q inférieur à 1. C’est précisément en augmentant l’amortissement que l’on protège une structure de la résonance.

Un détail souvent oublié : quand l’amortissement croît, la fréquence de résonance en amplitude descend légèrement en dessous de la fréquence propre. Au lycée, on néglige cet écart, qui reste inférieur au pour cent pour les systèmes peu amortis.

Modes propres : il y en a plusieurs

Un système étendu (corde, colonne d’air, plaque) ne possède pas une fréquence propre mais une série de fréquences propres, appelées modes. Pour une corde de guitare ou un tube ouvert aux deux extrémités, ces modes sont f₁, 2f₁, 3f₁… : la série harmonique, qui donne aux instruments leur timbre. Pour un tube fermé à une extrémité, seuls les harmoniques impairs existent : f₁, 3f₁, 5f₁… C’est ce qui distingue le son d’une clarinette (tuyau fermé) de celui d’une flûte (tuyau ouvert), à longueur comparable.

Le résonateur de Helmholtz fait exception : il se comporte comme un oscillateur à un seul degré de liberté (l’air du col joue le rôle de la masse, l’air du volume celui du ressort) et n’a donc essentiellement qu’une fréquence propre.

Le mythe du pont de Tacoma

C’est l’exemple qu’on cite partout, et il est faux. L’effondrement du pont de Tacoma Narrows, le 7 novembre 1940, n’est pas dû à une résonance forcée : le vent, régulier ce jour-là à environ 65 km/h, ne présentait aucune composante périodique accordée sur une fréquence propre du tablier. Le phénomène en cause est le flottement aéroélastique : le mouvement du tablier modifie lui-même l’écoulement de l’air, qui en retour amplifie ce mouvement. C’est une instabilité par rétroaction, où l’énergie est puisée en continu dans l’écoulement, et non une réponse à une excitation périodique extérieure. La distinction est essentielle : dans une résonance, l’excitation existe indépendamment du système ; dans un flottement, elle est engendrée par le mouvement lui-même.

L’exemple correct de résonance mécanique destructrice reste la rupture du pas cadencé : une troupe marchant au pas sur un pont impose une excitation périodique bien réelle, d’où la consigne militaire de rompre le pas. Le Millennium Bridge de Londres, en 2000, a connu un phénomène apparenté mais plus subtil, avec un couplage entre l’oscillation latérale du tablier et la démarche des piétons.

Où l’on rencontre la résonance

La notion dépasse largement la mécanique. Un circuit électrique RLC possède une fréquence de résonance qui sert à sélectionner une station de radio. L’IRM exploite la résonance magnétique nucléaire des protons. Le four à micro-ondes, en revanche, ne fonctionne pas par résonance de la molécule d’eau : c’est une idée reçue. Sa fréquence de 2,45 GHz est très éloignée des résonances de l’eau liquide ; le chauffage provient de l’agitation des dipôles et des pertes diélectriques.

Six expériences avec le synthétiseur de fréquences d’un smartphone (blog FizziQ) montre comment balayer des fréquences pour mettre en évidence un pic de résonance | Cinq expériences à réaliser avec le spectrogramme de FizziQ Web détaille la lecture des pics spectraux.

Formule

Fréquence propre d’un oscillateur masse-ressort :

f₀ = (1 / 2π) × √(k / m)

Fréquence propre d’un pendule simple de longueur L (petites oscillations) :

f₀ = (1 / 2π) × √(g / L)

Résonateur de Helmholtz (cavité de volume V, col de section S et de longueur effective L_eff) :

f₀ = (v / 2π) × √(S / (V × L_eff))

Modes d’un tube ouvert aux deux extrémités (tous les harmoniques) :

f_n = n × v / (2L), avec n = 1, 2, 3…

Modes d’un tube fermé à une extrémité (harmoniques impairs seulement) :

f_n = n × v / (4 × (L + 0,6 R)), avec n = 1, 3, 5…

Le terme 0,6 R est la correction de bout : l’air situé juste à l’extérieur de l’ouverture participe à la vibration, ce qui fait que le tube « sonne » comme s’il était un peu plus long qu’il ne l’est.

Facteur de qualité, qui mesure l’acuité du pic :

Q = f₀ / Δf

où :

• f₀ : fréquence propre (Hz)
• f : fréquence d’excitation imposée de l’extérieur (Hz)
• k : constante de raideur du ressort (N·m⁻¹)
• m : masse (kg)
• L : longueur du pendule ou du tube (m)
• R : rayon du tube (m)
• g : intensité de la pesanteur, environ 9,81 m·s⁻²
• v : vitesse du son, environ 343 m·s⁻¹ dans l’air à 20 °C
• V : volume de la cavité (m³)
• S : section du col (m²)
• Q : facteur de qualité (sans unité)
• Δf : largeur du pic de résonance à mi-hauteur en puissance (Hz)

Exemples d’application

• Une bouteille de 75 cL avec un goulot de 2 cm de diamètre et 5 cm de long résonne vers 110 à 130 Hz. En remplissant la bouteille à moitié, on divise V par deux et f₀ est multipliée par √2, soit environ 1,41 : le son monte d’environ un triton (quarte augmentée), le rapport d’une quinte étant de 1,5.
• Un tube fermé de 1 m de long résonne à f₁ = 343 / 4 = 86 Hz environ, puis à 257 Hz et 429 Hz : les harmoniques impairs seulement. Le même tube ouvert aux deux bouts donnerait 172 Hz, 343 Hz, 515 Hz.
• Les formants de la voix sont des résonances du conduit vocal, long d’environ 17 cm. C’est leur position, et non la fréquence des cordes vocales, qui distingue un « a » d’un « i ».
• Le verre à pied que l’on brise à la voix : il faut atteindre exactement sa fréquence propre (souvent 500 à 800 Hz), avec un niveau très élevé et un verre de grand Q. La démonstration est réelle mais bien plus difficile qu’on ne le montre à la télévision.
• Les gratte-ciel et les ponts sont dimensionnés pour que leurs fréquences propres soient éloignées de celles du vent et des séismes ; on y ajoute des amortisseurs à masse accordée, comme la sphère de 660 tonnes de la tour Taipei 101.
• Un circuit RLC accordé sélectionne une station de radio : seule la fréquence proche de sa résonance produit une tension significative.

FAQ

Q : Quelle différence entre fréquence propre et fréquence de résonance ? R : La fréquence propre f₀ est celle à laquelle le système oscille tout seul quand on l’écarte de son équilibre : elle ne dépend que de lui. La fréquence de résonance est la fréquence d’excitation qui produit la plus grande amplitude. Les deux sont pratiquement confondues quand l’amortissement est faible, ce qui est le cas dans presque toutes les expériences de lycée.

Q : L’amplitude devient-elle infinie à la résonance ? R : Non, sauf dans le modèle idéal sans frottement. En réalité, l’amplitude se stabilise à la valeur pour laquelle l’énergie dissipée par les frottements compense exactement celle apportée par l’excitation. Moins il y a d’amortissement, plus cette amplitude limite est grande.

Q : Le pont de Tacoma s’est-il vraiment effondré par résonance ? R : Non, c’est une erreur très répandue, y compris dans certains manuels. Le vent était régulier et ne fournissait aucune excitation périodique accordée sur une fréquence propre du pont. La cause est un flottement aéroélastique : le tablier, en se tordant, modifiait l’écoulement de l’air, qui amplifiait alors son mouvement. L’énergie venait d’une rétroaction, pas d’une excitation extérieure périodique.

Q : Pourquoi la note d’une bouteille monte-t-elle quand on la remplit ? R : Parce qu’on réduit le volume V d’air de la cavité. Or f₀ varie en 1/√V : diviser le volume par quatre double la fréquence, soit une octave. Attention, c’est l’inverse si l’on frappe la bouteille avec une cuillère au lieu de souffler dedans : on fait alors vibrer le verre et l’eau, et la note descend quand on remplit.

Q : Pourquoi le micro-ondes chauffe-t-il l’eau, si ce n’est pas par résonance ? R : Le four émet à 2,45 GHz, une fréquence très éloignée des fréquences de résonance des molécules d’eau. Les molécules d’eau, qui sont des dipôles, tentent de suivre le champ électrique alternatif ; les frottements entre molécules dissipent alors cette agitation en chaleur. C’est un chauffage par pertes diélectriques, pas une résonance.

Concepts liés

Fréquence propre - Oscillateur harmonique - Amortissement - Facteur de qualité - Résonance de Helmholtz - Onde stationnaire - Mode propre - Fréquence fondamentale - Timbre