Le pendule de Newton est un dispositif de démonstration formé de billes identiques suspendues et jointives. Quand on en lâche une, elle percute la chaîne et une seule bille repart de l’autre côté, à la même vitesse. Il illustre la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique.
Observer expérimentalement le pendule de Newton
L’intérêt du pendule de Newton est qu’on peut y vérifier les deux conservations à la fois - quantité de mouvement et énergie cinétique - à partir d’une seule vidéo. L’analyse cinématique de FizziQ permet de comparer la vitesse de la bille incidente juste avant le choc à celle de la bille éjectée juste après.
Étapes :
- Filmer le dispositif de face, caméra fixe, avec une règle graduée dans le champ, ou utiliser la vidéo fournie dans l’activité FizziQ
- Pointer image par image la bille lâchée sur les quelques images précédant le contact, pour obtenir sa vitesse v juste avant le choc
- Pointer de même la bille éjectée à l’autre extrémité, sur les quelques images suivant le contact, pour obtenir v′
- Calculer le coefficient de restitution e = v′ / v, puis le rapport des énergies cinétiques, qui vaut e²
- Recommencer en lâchant deux billes, puis trois, et vérifier qu’il repart à chaque fois le même nombre de billes
- Comparer aussi les hauteurs de départ et de retour : le rapport h′/h vaut lui aussi e², et doit conduire à la même valeur de e
- Filmer au ralenti si le téléphone le permet : à 30 images par seconde la bille parcourt plusieurs centimètres entre deux images, ce qui limite la précision sur les vitesses
Activités scientifiques sur ce thème
Pour comprendre quel est le comportement des billes d’un pendule de Newton lors de la collision des billes, nous proposons à l’élève de conduire une analyse cinématique sur une vidéo qu’il aura créé d’un pendule ou en utilisant une vidéo de pendule de Newton de notre site FizziQ. Cette expérience permettra de tester l’hypothèse d’un choc élastique et de mesurer le coefficient de restitution du pendule.
Pour accéder à l’activité
- Période d’un pendule : l’isochronisme - mesurer précisément la période d’oscillation d’une bille suspendue, indispensable pour comprendre le rythme du dispositif
En savoir plus
Le pendule de Newton est souvent utilisé pour démontrer des concepts de base de la physique, tels que la conservation de l’énergie et la conservation de la quantité de mouvement. Il est également utilisé comme objet de décoration, et peut être trouvé dans de nombreux magasins de jouets et de curiosités.
Le fonctionnement du pendule de Newton repose sur une géométrie précise. Chaque bille est suspendue par deux fils de longueur égale, ce qui contraint son mouvement dans un seul plan, et les billes se touchent au repos, alignées et jointives. Lorsqu’on écarte la bille d’extrémité et qu’on la lâche, son énergie potentielle de pesanteur se convertit en énergie cinétique ; au point bas, elle heurte la chaîne et la bille de l’autre extrémité repart seule, à la même vitesse, montant à la même hauteur. Le cycle se répète en s’amortissant.
Le bilan énergétique est simple à suivre. L’énergie potentielle de pesanteur est maximale quand une bille est écartée en hauteur, et minimale quand toutes les billes pendent au repos, à la verticale. À chaque passage au point bas, cette énergie potentielle a été intégralement convertie en énergie cinétique. Une petite fraction est perdue à chaque choc, sous forme de chaleur, de vibrations et de son : c’est pourquoi les hauteurs de rebond diminuent peu à peu, jusqu’à l’arrêt.
Une seule bille repart : pourquoi la quantité de mouvement ne suffit pas à l’expliquer
C’est le point central du dispositif, et l’explication qu’on lit le plus souvent est incomplète. On dit fréquemment que « la conservation de la quantité de mouvement impose qu’une seule bille reparte ». C’est faux : à elle seule, elle ne l’impose pas du tout.
Prenons n billes identiques de masse m, une bille lancée à la vitesse v. La quantité de mouvement initiale vaut mv et l’énergie cinétique initiale ½mv². Supposons que k billes repartent ensemble à une vitesse u.
La conservation de la quantité de mouvement donne k m u = m v, soit u = v/k. Cette relation est satisfaite pour n’importe quel k : deux billes à v/2, trois billes à v/3, tout est permis. La quantité de mouvement seule ne sélectionne aucune solution.
C’est la conservation de l’énergie cinétique qui tranche. Elle exige k × ½m u² = ½m v². En y remplaçant u par v/k, on obtient k × (v/k)² = v²/k, qui doit être égal à v². Il faut donc k = 1. Une seule bille, et à la vitesse v.
Le cas k = 2 est le plus parlant. Deux billes reparties à v/2 conserveraient parfaitement la quantité de mouvement, mais leur énergie cinétique vaudrait 2 × ½m(v/2)² = ¼mv², soit la moitié seulement de l’énergie initiale. La moitié de l’énergie aurait disparu sans raison. C’est cette solution-là que le pendule de Newton exclut, et il faut bien les deux conservations simultanées pour y parvenir. Le même raisonnement explique que deux billes lâchées fassent repartir exactement deux billes, et trois billes exactement trois.
Comment la perturbation traverse réellement la chaîne
L’image des billes intermédiaires qui « se passent le choc » l’une après l’autre est commode mais approximative. En réalité, l’impact engendre une onde de compression qui se propage dans la matière des billes, à la vitesse du son dans l’acier, de l’ordre de 5 000 m·s⁻¹. L’onde parcourt la chaîne, se réfléchit à l’extrémité libre et met la dernière bille en mouvement. Les billes du milieu ne restent donc pas rigoureusement immobiles : elles se déforment très légèrement et se déplacent de quantités trop faibles pour être vues. C’est aussi pour cette raison que le contact doit être parfait - un jeu de quelques dixièmes de millimètre entre deux billes suffit à dégrader nettement le comportement du dispositif.
Un dispositif qui porte le nom de Newton sans venir de lui
Newton n’a pas inventé cet objet. Les lois des chocs qu’il illustre ont été établies en 1668 et 1669 par John Wallis, Christopher Wren et Christiaan Huygens, qui présentèrent leurs travaux devant la Royal Society : Wren et Huygens y formulèrent notamment la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie cinétique dans les chocs élastiques. Newton reprit et cita ces résultats dans les Principia en 1687. La version décorative en billes d’acier chromé, telle qu’on la connaît, n’est apparue qu’au XXᵉ siècle.
Au programme
Le pendule de Newton relève de la classe de troisième pour l’aspect qualitatif - conservation de l’énergie, transferts - et de la première spécialité pour l’étude quantitative des collisions, de la quantité de mouvement et du coefficient de restitution.
Formule
Vitesse d’une bille au point bas, après un lâcher depuis une hauteur h :
v = √(2 g h)
Conservation de la quantité de mouvement, k billes repartant à la vitesse u :
k m u = m v, d’où u = v / k
Conservation de l’énergie cinétique, imposant la solution physique :
k × ½ m u² = ½ m v², d’où v² / k = v², donc k = 1
Coefficient de restitution mesuré sur le dispositif :
e = v′ / v = √(h′ / h)
Fraction d’énergie cinétique perdue par cycle :
1 − e²
où :
- v : vitesse de la bille incidente juste avant le choc (m·s⁻¹)
- v′ : vitesse de la bille éjectée juste après le choc (m·s⁻¹)
- h, h′ : hauteurs de lâcher et de remontée (m)
- m : masse d’une bille, toutes identiques (kg)
- k : nombre de billes repartant après le choc (sans unité)
- u : vitesse commune supposée de ces k billes (m·s⁻¹)
- g : intensité de la pesanteur, environ 9,81 m·s⁻² (m·s⁻²)
- e : coefficient de restitution, entre 0 et 1 (sans unité)
Exemples d’application
- Une bille lâchée de 5 cm arrive au point bas à v = √(2 × 9,81 × 0,05) ≈ 0,99 m·s⁻¹, soit environ 1 m·s⁻¹. La bille opposée repart à peu près à cette vitesse et remonte à une hauteur légèrement inférieure.
- Amortissement mesurable. Avec e ≈ 0,95 par choc, la hauteur de rebond vaut e² ≈ 90 % de la précédente. Après dix cycles, il reste environ 35 % de la hauteur initiale : le dispositif s’arrête bien plus vite qu’on ne l’imagine.
- Deux billes lâchées, deux billes reparties. Le résultat n’a rien d’évident et se prédit par le même calcul : la seule solution conservant à la fois p et Ec est le départ de deux billes à la vitesse initiale.
- Le berceau qui ne fonctionne pas. Séparer volontairement les billes de quelques millimètres, ou en suspendre une par un seul fil, suffit à ruiner l’effet : les billes partent dans tous les sens. La démonstration ne tient qu’à des chocs alignés et quasi élastiques.
- Analogie avec le billard. Une bille de billard frappant de plein fouet une bille identique immobile s’arrête net et lui transmet toute sa vitesse : c’est le pendule de Newton réduit à deux billes.
FAQ
Q : Pourquoi les billes du milieu ne bougent-elles pas ? R : Elles bougent, mais très peu. La perturbation les traverse sous forme d’une onde de compression, à environ 5 000 m·s⁻¹ dans l’acier : la traversée est trop rapide et les déplacements trop faibles pour être visibles. À l’échelle de l’observation, tout se passe comme si le mouvement « sautait » d’une extrémité à l’autre.
Q : Est-ce la conservation de la quantité de mouvement qui impose qu’une seule bille reparte ? R : Non, pas à elle seule, et c’est l’erreur la plus répandue. Deux billes à v/2 conserveraient parfaitement la quantité de mouvement. Il faut y ajouter la conservation de l’énergie cinétique, qui élimine cette solution parce que deux billes à v/2 n’emporteraient que la moitié de l’énergie initiale.
Q : Que se passe-t-il si les billes n’ont pas la même masse ? R : Le bel effet disparaît. Les vitesses ne sont plus simplement échangées, et il faut appliquer les formules générales du choc élastique. Une bille plus lourde repart vers l’avant après avoir heurté une plus légère ; une bille plus légère rebondit en arrière sur une plus lourde.
Q : Pourquoi le pendule finit-il par s’arrêter si l’énergie se conserve ? R : L’énergie totale se conserve, mais l’énergie mécanique ne se conserve pas. Les chocs ne sont pas parfaitement élastiques : chacun dissipe quelques pour cent en chaleur, en vibrations et en son. L’air et les points d’attache prélèvent aussi leur part.
Q : Le bruit du dispositif compte-t-il dans les pertes ? R : Oui, mais très faiblement. Le son émis représente bien de l’énergie cinétique perdue, ce qui prouve que le choc n’est pas parfaitement élastique, mais il n’en constitue qu’une part minuscule. L’essentiel part en chaleur dans le métal.
Concepts liés
Choc élastique - Choc inélastique - Quantité de mouvement - Énergie cinétique - Conservation de l’énergie - Coefficient de restitution - Pendule - Énergie potentielle - Onde de compression