Pendule

Le pendule est un outil scientifique utilisé depuis des siècles pour étudier les lois de la physique et de la mécanique. La caractéristique principale d’un pendule simple est que, pour de petits angles, la période des oscillations ne dépend que de la longueur du fil et de la gravité.

Observer expérimentalement le pendule

Mesurer la période d’un pendule à la main est peu précis. FizziQ permet de la dater automatiquement, soit par le son du passage devant un obstacle, soit en fixant le smartphone lui-même à la masse et en exploitant son accéléromètre.

Étapes :

• Suspendre une masse à un fil fin et inextensible, et mesurer la longueur L du point de suspension jusqu’au centre de la masse
• Écarter le pendule d’un angle faible, 10° au maximum, et le lâcher sans vitesse initiale
• Enregistrer l’accélération, ou le son produit à chaque passage, pendant une vingtaine d’oscillations
• Mesurer la durée totale de 20 périodes et diviser par 20 : l’incertitude sur la période est ainsi divisée par 20
• Recommencer pour cinq longueurs différentes, de 20 cm à 1,5 m environ
• Tracer T² en fonction de L : la droite obtenue a pour coefficient directeur 4π²/g, d’où l’on tire g

Activités scientifiques sur ce thème

Nous proposons plusieurs expériences sur le pendule à réaliser avec un smartphone :

• Etude de la conservation de l’énergie pour un pendule de Newton
• Mesure de l’accélération centripète d’un pendule au point le plus bas
• Etude cinématique du mouvement d’un pendule
• Construire un dispositif pour mesurer avec précision la période d’un pendule et l’appliquer pour vérifier les lois du mouvement

En savoir plus

La caractéristique principale d’un pendule simple est que, pour de petits angles, la période des oscillations ne dépend que de la longueur du fil et de la gravité et c’est pour cette raison le pendule a été un composant essentiel des horloges pendant de nombreux siècles.

En sciences les pendules simples sont utilisés pour étudier les principes de la gravité et de la dynamique. Il a permis notamment aux scientifiques de montrer que l’accélération de la pesanteur n’était pas constante.

L’équation de la période d’un pendule simple pour des oscillations de petits angles est donnée par :

T = 2π * sqrt(l/g)

avec T représente la période en secondes, l représente la longueur du fil en mètres et g représente l’accélération due à la gravité en mètres par seconde carré.

Cette équation montre que la période d’oscillation d’un pendule simple dépend de la longueur du fil et de l’accélération due à la gravité. Plus la longueur du fil est grande, plus la période est longue. De même, plus l’accélération due à la gravité est grande, plus la période est courte.

Le pendule de Newton est un autre type de pendule qui permet d’étudier les collisions et vérifier le théorème de conservation de l’énergie.

Le pendule de Foucault est un autre exemple de l’utilisation du pendule en science. Il s’agit d’un pendule qui permet de démontrer la rotation de la Terre. Le pendule de Foucault est constitué d’une masse lourde suspendue à un fil de grande longueur. Lorsque le pendule est en mouvement, il reste dans le même plan de vibration, mais la Terre tourne sous lui, de sorte que le plan de vibration semble tourner par rapport à la Terre. Léon Foucault en fit la démonstration publique au Panthéon en 1851, avec un fil de 67 m. La rotation apparente du plan d’oscillation n’est complète en 24 h qu’aux pôles : elle prend 24 h / sin(latitude), soit environ 32 h à Paris, et elle est nulle à l’équateur.

Pendule simple et pendule pesant : ne pas confondre

Le pendule simple est un modèle idéalisé : une masse ponctuelle au bout d’un fil sans masse et inextensible. C’est lui, et lui seul, qui obéit à T = 2π√(L/g). Un objet réel qui oscille autour d’un axe est un pendule pesant : sa masse est répartie, et sa période fait intervenir son moment d’inertie J et la distance d de l’axe au centre de gravité, selon T = 2π√(J/(mgd)). Une règle homogène de longueur L pivotant à une extrémité, par exemple, oscille comme un pendule simple de longueur 2L/3 seulement - elle est plus rapide que le fil de même longueur. En pratique, le modèle du pendule simple reste excellent tant que la masse suspendue est petite devant la longueur du fil.

L’isochronisme n’est qu’approché

C’est le point le plus souvent mal compris. La relation T = 2π√(L/g) n’est valable qu’aux petites oscillations, lorsqu’on peut remplacer sin θ par θ dans l’équation du mouvement. Dès que l’amplitude augmente, la période augmente elle aussi : environ +0,2 % à 10°, +1,7 % à 30°, près de +4 % à 45°. L’indépendance de la période vis-à-vis de l’amplitude, observée par Galilée au début du XVIIᵉ siècle, est donc une propriété approchée, excellente aux faibles angles et fausse aux grands. C’est précisément ce défaut qui limitait la précision des premières horloges à pendule et qui poussa Huygens, dès 1656, à chercher des suspensions corrigeant l’écart.

Au programme

Le pendule simple relève de la première et de la terminale spécialité : étude d’un oscillateur mécanique, conversion entre énergie potentielle de pesanteur et énergie cinétique, conservation de l’énergie mécanique en l’absence de frottements. C’est aussi un support classique de mesure de g et d’analyse d’incertitudes. La méthode du tracé de T² = f(L) donne couramment g à 1 ou 2 % près, soit entre 9,7 et 9,9 m·s⁻².

Formule

Période d’un pendule simple, aux petites oscillations uniquement :

T = 2π × √(L / g)

Correction d’amplitude au premier ordre, pour un lâcher à l’angle θ₀ :

T ≈ 2π√(L/g) × (1 + θ₀²/16)

Période d’un pendule pesant, oscillant autour d’un axe fixe :

T = 2π × √(J / (m g d))

Détermination de g par régression linéaire :

T² = (4π² / g) × L

Conservation de l’énergie mécanique, sans frottement, pour un lâcher à la hauteur h au-dessus du point bas :

½ m v² = m g h, d’où v = √(2gh) au passage à la verticale

où :

• T : période, durée d’un aller-retour complet (s)
• L : longueur du fil, du point de suspension au centre de la masse (m)
• g : intensité de la pesanteur, environ 9,81 m·s⁻² en France (m·s⁻²)
• θ₀ : amplitude angulaire du lâcher, en radians (rad)
• J : moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation (kg·m²)
• m : masse du pendule (kg)
• d : distance de l’axe au centre de gravité (m)
• v : vitesse au point le plus bas (m·s⁻¹)

Exemples d’application

• Pendule d’un mètre. Un fil de 1,00 m donne T = 2,006 s : un pendule d’environ un mètre bat presque exactement la seconde à chaque passage. Le pendule « battant la seconde » des horloges, de période 2 s, mesure précisément 0,994 m à Paris.
• Mesure de g. En traçant T² = f(L) sur cinq longueurs, une classe obtient couramment g à 9,8 ± 0,2 m·s⁻². C’est l’une des rares constantes fondamentales mesurables avec un fil et un chronomètre.
• Variation de g avec la latitude. En 1672, Jean Richer constata que son horloge à pendule, réglée à Paris, retardait d’environ deux minutes et demie par jour à Cayenne. Il fallut raccourcir le pendule : g est plus faible près de l’équateur, du fait de la rotation et de l’aplatissement de la Terre.
• Pendule de Foucault du Panthéon. Avec ses 67 m de fil, sa période vaut environ 16 s. Sa longueur n’a rien d’anecdotique : plus le pendule est long et lourd, plus il oscille longtemps sans s’amortir, ce qui laisse le temps de voir tourner le plan d’oscillation.
• Balancement de la marche. La jambe humaine oscille comme un pendule pesant : c’est pourquoi la cadence de marche naturelle est à peu près fixe pour une personne donnée, et pourquoi les personnes de petite taille marchent avec une fréquence de pas plus élevée.
• Amplitude et erreur. Lâcher un pendule à 30° au lieu de 5° allonge la période de 1,7 %. Sur une mesure de g, cela crée un écart systématique de plus de 3 %, largement supérieur à l’incertitude expérimentale : l’erreur passerait pour un problème de matériel alors qu’elle vient du protocole.

FAQ

Q : La période dépend-elle de la masse suspendue ? R : Non, et c’est le résultat le plus surprenant du pendule simple. La masse n’apparaît pas dans T = 2π√(L/g). Une bille de plomb et une bille de bois au bout du même fil oscillent à la même période. La raison est la même que pour la chute libre : la masse intervient à la fois dans le poids et dans l’inertie, et se simplifie.

Q : Pourquoi faut-il rester à de petits angles ? R : Parce que la formule repose sur l’approximation sin θ ≈ θ, valable seulement pour θ petit et exprimé en radians. Au-delà, la période augmente : +1,7 % à 30°, +4 % à 45°. En dessous de 10°, l’écart reste sous 0,2 %, donc négligeable devant les incertitudes de mesure en classe.

Q : Quelle différence entre pendule simple et pendule pesant ? R : Le pendule simple est un modèle : masse ponctuelle, fil sans masse. Le pendule pesant est un solide réel dont la masse est répartie, et sa période fait intervenir le moment d’inertie. Un objet massif suspendu à un fil court se comporte en pendule pesant, pas en pendule simple.

Q : Faut-il mesurer L jusqu’au bas de la masse ou jusqu’à son centre ? R : Jusqu’à son centre de gravité. C’est l’erreur la plus fréquente en TP, et elle est systématique : elle décale tous les points dans le même sens et fausse la valeur de g sans dégrader l’alignement des points, donc sans se voir sur le graphique.

Q : Pourquoi le pendule finit-il par s’arrêter alors que l’énergie se conserve ? R : L’énergie totale se conserve bien, mais l’énergie mécanique ne se conserve pas : les frottements de l’air et au point d’attache la convertissent progressivement en chaleur. L’amplitude décroît, tandis que la période, elle, reste pratiquement inchangée tant que l’amortissement est faible.

Concepts liés

Oscillateur harmonique - Période - Énergie mécanique - Énergie potentielle - Énergie cinétique - Accélération de la pesanteur - Pendule de Newton - Moment d’inertie - Fréquence propre