Constante de raideur : k = 4π²m/T²
Déterminer la constante de raideur d'un ressort en mesurant la période d'oscillation d'un système masse-ressort avec l'accéléromètre du smartphone.
Description détaillée
L'élève fixe son smartphone à un ressort suspendu, le fait osciller verticalement et enregistre l'accélération avec FizziQ. En mesurant la période d'oscillation et en connaissant la masse du téléphone, il calcule la constante de raideur du ressort grâce à la relation T = 2π√(m/k). L'expérience est répétée avec différentes masses pour vérifier la cohérence du résultat. L'élève découvre ainsi le mouvement harmonique simple et la loi de Hooke de manière quantitative. FizziQ fournit l'instrument Accéléromètre (accélération linéaire, sans gravité) pour enregistrer le signal, et l'interpolation sinusoïdale du cahier d'expérience pour en extraire la période T avec précision.
Objectifs pédagogiques
- Mesurer la période d'oscillation d'un système masse-ressort à l'aide de l'accéléromètre
- Calculer la constante de raideur d'un ressort à partir de la période et de la masse
- Vérifier expérimentalement la relation T = 2π√(m/k)
- Identifier un signal sinusoïdal sur un graphique d'accélération en fonction du temps
- Analyser l'effet de l'amortissement sur l'amplitude des oscillations
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Accélération linéaire (sans gravité)
Capteurs
- Accéléromètre
Fonctionnalités FizziQ
- Cahier d'expérience - interpolation sinusoïdale — Ajuste une sinusoïde sur l'ensemble du signal d'accélération enregistré pour déterminer la période T en moyennant le bruit de mesure, plus précisément qu'une lecture directe de deux pics.
Matériel nécessaire
- Smartphone ou tablette avec FizziQ
- Un ressort (type ressort de laboratoire ou Slinky)
- Un support pour le téléphone (rouleau en carton, élastique, vis)
- Une balance pour peser le smartphone
- Un support solide pour suspendre le ressort (poignée de porte, potence)
- Masses supplémentaires (optionnel)
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil de mesure comparable.
Protocole expérimental
Construis un support pour ton smartphone : prends un rouleau en carton (type rouleau de papier toilette), découpe deux fentes oblongues sur les côtés pour y glisser le téléphone, et fixe une vis au sommet pour accrocher le ressort. Sécurise le téléphone avec un élastique.
Pèse ton smartphone (avec sa coque et le support) à l'aide d'une balance. Note cette masse m en kilogrammes.
Ouvre l'application FizziQ et sélectionne l'instrument Accéléromètre (accélération linéaire, sans la gravité). Repère l'axe du téléphone qui sera vertical une fois suspendu — en général l'axe Y si le téléphone est debout dans son support — et sélectionne cet axe, ou la norme de l'accélération, pour l'affichage.
Accroche le ressort à un support solide (poignée de porte, tringle, potence de laboratoire). Suspends le téléphone dans son support au bout du ressort.
Tire doucement le téléphone vers le bas (quelques centimètres suffisent) puis relâche-le. Attention à ne pas tirer trop fort : le téléphone ne doit pas toucher le sol en bas de course, et le ressort ne doit jamais se détendre complètement en haut de l'oscillation, sinon le mouvement n'est plus harmonique.
Lance l'enregistrement dans FizziQ pendant que le système oscille. Enregistre au moins 10 oscillations complètes.
Arrête l'enregistrement et observe le graphique de l'accélération en fonction du temps. Tu devrais voir une belle sinusoïde.
Mesure la période T : relève sur le graphique la durée totale de 10 oscillations complètes, entre 11 maxima successifs, et divise par 10. Tu peux aussi appliquer l'interpolation sinusoïdale au graphique dans le cahier d'expériences : la période s'en déduit directement, et l'ajustement moyenne le bruit sur l'ensemble du signal.
Calcule la constante de raideur avec la formule : k = (2π/T)² × m. Compare avec la valeur indiquée par le fabricant du ressort si disponible.
Recommence l'expérience en ajoutant une masse supplémentaire (par exemple un petit livre attaché au téléphone). La période devrait augmenter. Vérifie que k reste constant.
Résultats attendus
Le graphique d'accélération montre une oscillation sinusoïdale régulière dont l'amplitude décroît lentement à cause de l'amortissement. La période T est constante et indépendante de l'amplitude — c'est une propriété exacte de l'oscillateur harmonique, valable tant que le ressort reste tendu et dans son domaine d'élasticité linéaire et typiquement comprise entre 0,3 s et 1,5 s selon le ressort et la masse. Pour un ressort de laboratoire standard (k ≈ 10 à 50 N/m) et un smartphone de 200 g, on obtient des périodes de l'ordre de 0,4 à 0,9 s. En ajoutant des masses, on observe que T² est proportionnel à m, confirmant la relation T = 2π√(m/k). La valeur de k calculée reste constante (aux incertitudes près) quelle que soit la masse utilisée, validant le modèle du mouvement harmonique simple.
Questions scientifiques possibles
- Pourquoi la période d'oscillation ne dépend-elle pas de l'amplitude du mouvement ?
- Que se passe-t-il si l'on tire le ressort très fortement : la relation reste-t-elle valable ?
- Comment expliquer la lente décroissance de l'amplitude des oscillations ?
- Peut-on utiliser cette méthode pour mesurer une masse inconnue si k est connu ?
- Quelle est la différence entre mettre deux ressorts en série et en parallèle sur la période d'oscillation ?
Explications scientifiques
Le mouvement harmonique simple (MHS) est un mouvement périodique où la force de rappel est proportionnelle au déplacement. C'est le modèle fondamental des oscillations en physique, décrit par la loi de Hooke : F = -kx. L'accéléromètre du smartphone mesure l'accélération linéaire à chaque instant. Pour un MHS, l'accélération est sinusoïdale et en opposition de phase avec le déplacement : a(t) = -ω²A·cos(ωt), où ω = 2π/T est la pulsation propre.
La période d'oscillation est donnée par T = 2π√(m/k). Cette relation montre que la période ne dépend que de la masse et de la constante de raideur, et non de l'amplitude des oscillations. Contrairement au pendule, cette indépendance est exacte pour un ressort idéal : elle ne suppose pas de « petites oscillations », mais seulement que le ressort reste tendu et obéisse à la loi de Hooke. En réarrangeant cette formule, on obtient k = (2π/T)² × m = 4π²m/T². Connaissant la masse du smartphone et la période mesurée, on accède directement à la constante de raideur.
Pour déterminer la période avec précision, on peut appliquer l'interpolation sinusoïdale du cahier d'expériences de FizziQ : l'ajustement d'une sinusoïde sur l'ensemble du signal moyenne le bruit de mesure et donne une valeur de T plus fiable que la lecture de deux pics isolés.
La précision typique est de l'ordre de 1% sur la mesure de la période. En traçant T² en fonction de m pour plusieurs masses, on obtient une droite dont la pente vaut 4π²/k. Cette représentation linéaire permet une détermination graphique précise de k.
L'amortissement observé (décroissance de l'amplitude) est dû aux frottements de l'air et aux pertes internes dans le ressort. Il n'affecte pas significativement la période tant qu'il reste faible.
Enfin, si la masse du ressort n'est pas négligeable devant celle du téléphone, la période s'écrit plus précisément T = 2π√((m + mₛ/3)/k), où mₛ est la masse du ressort : environ un tiers de celle-ci participe à l'oscillation. Avec un ressort de laboratoire léger, la correction est minime ; avec un Slinky, elle devient significative. Sur le graphe de T² en fonction de m, cet effet se traduit par une ordonnée à l'origine non nulle, égale à 4π²mₛ/(3k), que les élèves peuvent mesurer : c'est une façon élégante de « peser » le ressort sans balance.
Pour aller plus loin : Spring oscillations (phyphox) décrit un protocole voisin, ressort et accéléromètre de smartphone. L'expérience est également détaillée dans J. Kuhn et P. Vogt, « Analyzing spring pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor », The Physics Teacher 50, 504 (2012).
Extensions possibles
- Tracer T² en fonction de m pour plusieurs masses et vérifier la linéarité ; la pente donne k
- Comparer la constante de raideur obtenue avec la méthode statique (mesure de l'allongement sous une force connue)
- Étudier l'amortissement en mesurant la décroissance de l'amplitude au cours du temps
- Mettre deux ressorts en série ou en parallèle et vérifier les formules de composition des raideurs
- Utiliser un Slinky comme ressort pour obtenir des oscillations très lentes et spectaculaires
- Mesurer l'ordonnée à l'origine du graphe T²(m) pour estimer la masse effective du ressort (mₛ/3) et la comparer à sa masse réelle pesée sur une balance
Questions fréquentes
Pourquoi utiliser l'accélération sans g plutôt qu'avec g ?
L'accéléromètre 'avec g' mesure la pesanteur en plus de l'accélération du mouvement. L'accélération 'sans g' (accéléromètre linéaire) soustrait la gravité, ce qui donne un signal centré sur zéro, plus facile à analyser.
Mon signal n'est pas une belle sinusoïde, il y a des oscillations rapides superposées.
Le téléphone vacille probablement autour d'autres axes en plus de l'oscillation verticale. Tire le téléphone tout droit vers le bas sans rotation et relâche-le proprement.
Peut-on utiliser cette méthode pour mesurer une masse inconnue ?
Oui ! Si k est connu (calibré au préalable), on peut déduire m = k(T/2π)². C'est le principe de la balance inertielle, utilisée sur la Station Spatiale Internationale.
L'amplitude diminue très vite et je n'ai que quelques oscillations.
Le ressort est probablement trop amorti ou le support absorbe l'énergie. Utilise un ressort métallique plutôt qu'un élastique et fixe-le à un support rigide.
Prêt à commencer ?
Téléchargez FizziQ et lancez cette activité avec vos élèves.