Pendule : a = 2gh/r
Vérification expérimentale de la conservation de l’énergie mécanique avec un pendule instrumenté par smartphone
Description détaillée
Dans cette activité, l’élève utilise un smartphone comme pendule pour confirmer expérimentalement la loi de la conservation de l’énergie mécanique. L’analyse comporte une phase théorique qui consiste à identifier la formule de l’accélération centripète en fonction de la hauteur du lâcher. Durant la phase pratique, l’élève mesure l’accélération centripète du smartphone après un lâcher à différentes hauteurs, et vérifie que la relation est linéaire. Cette expérience utilise l’accéléromètre du téléphone portable. Avec FizziQ, l’accéléromètre du smartphone fournit directement la mesure d’accélération absolue au point bas, et le cahier d’expérience intégré permet d’y consigner mesures, graphique et conclusions.
Objectifs pédagogiques
- Établir théoriquement la relation entre accélération centripète et hauteur de lâcher
- Appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique
- Réaliser des mesures d'accélération avec le smartphone utilisé comme pendule
- Construire un graphique a_c = f(h) et vérifier la linéarité
- Identifier les sources de dissipation d'énergie (frottements)
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Accélération absolue
Capteurs
- Accéléromètre
Fonctionnalités FizziQ
- Tableur et graphique — Saisie des couples (h, a_c) mesurés et tracé du graphique a_c = f(h).
- Modélisation / régression linéaire — Détermination de la pente expérimentale de la droite a_c = f(h) pour la comparer à la valeur théorique 2g/r.
- Cahier d'expérience — Consignation des hypothèses, mesures, graphique et conclusions de l'activité.
Matériel nécessaire
- Smartphone ou tablette avec FizziQ
- Ficelle ou fil solide (1 à 1,5 m)
- Support pour suspendre le pendule (poignée de porte, barre)
- Matériel pour fixer le smartphone au fil
- Mètre ruban
- Cahier d'expérience FizziQ
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil d'acquisition de données comparable.
Protocole expérimental
Vérifions la loi de conservation de l'énergie dans le cas d'un pendule simple.
Écris la formule de l'énergie potentielle du pendule en fonction de la hauteur h par rapport au point bas : E_p = mgh.
Écris l'énergie cinétique du pendule au point bas : E_c = ½mv².
En utilisant la conservation de l'énergie (mgh = ½mv²), calcule la vitesse tangentielle au point bas en fonction de h : v = √(2gh).
En utilisant la relation a_c = v²/r, déduis l'accélération centripète au point bas en fonction de h : a_c = 2gh/r.
Attache ton smartphone à un fil solide pour créer un pendule. Mesure la longueur r depuis le point de suspension jusqu'au centre du smartphone : l'accéléromètre est à l'intérieur de l'appareil, pas au bout du fil.
Pour différentes hauteurs de lâcher (5, 10, 15, 20, 25 cm), enregistre l'accélération absolue et relève la valeur maximale a_max atteinte dès le premier passage au point bas. L'accéléromètre mesure la force exercée par le fil rapportée à la masse : au point bas, il indique a_max = g + a_c. Calcule donc a_c = a_max − g, avec g ≈ 9,81 m/s².
Entre les données dans un tableau (h, a_c) et trace le graphique a_c = f(h) dans FizziQ.
Vérifie que la relation est bien linéaire. Détermine la pente expérimentale et compare-la à la valeur théorique 2g/r.
Documente tes hypothèses, résultats et conclusions dans ton cahier d'expérience.
Résultats attendus
Après soustraction de g, le graphique a_c = f(h) doit montrer une relation approximativement linéaire passant par l'origine, de pente théorique 2g/r. Pour un pendule de 1 m, la pente vaut environ 19,6 s⁻² ; pour h = 20 cm, a_c ≈ 3,9 m/s² — le pic brut lu sur l'accéléromètre vaut alors environ 9,8 + 3,9 ≈ 13,7 m/s². Si l'on trace directement le maximum brut a_max = f(h), la droite a la même pente 2g/r mais une ordonnée à l'origine proche de 9,8 m/s². Les frottements de l'air et du point de suspension font que la pente expérimentale est légèrement inférieure à la valeur théorique (écart de 5-15 %), l'énergie dissipée augmentant avec l'amplitude. Le bruit de mesure de l'accéléromètre (±0,1 m/s²) est la principale source d'incertitude pour les faibles hauteurs de lâcher.
La fréquence d'échantillonnage de l'accéléromètre, typiquement 50 à 100 Hz selon les appareils, peut aussi faire manquer le sommet exact du pic et sous-estimer légèrement a_max. L'écart de 5 à 15 % annoncé pour la pente reste à confirmer avec le matériel réel : il dépend fortement du montage, du fil, de la fixation et du frottement au point de suspension.
Questions scientifiques possibles
- Pourquoi la masse du smartphone n'apparaît-elle pas dans la relation a_c = 2gh/r ?
- Comment les frottements affectent-ils la pente du graphique a_c = f(h) ?
- Pourquoi l'écart avec la théorie augmente-t-il pour les grandes hauteurs de lâcher ?
- Comment vérifier que l'on mesure bien l'accélération centripète et non une autre composante ?
- Que se passe-t-il si le fil du pendule n'est pas inextensible ?
Explications scientifiques
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a introduit la notion de « force vive » (mv²), ancêtre de notre énergie cinétique, et défendu l'idée qu'une grandeur liée au mouvement se conserve. Le principe général de conservation de l'énergie, lui, n'a été formulé qu'au XIXe siècle, par Mayer, Joule et Helmholtz. Pour un pendule simple, ce principe établit que l'énergie mécanique totale reste constante en l'absence de frottements. Cette conservation permet d'établir une relation directe entre la hauteur de départ et l'accélération centripète au point le plus bas.
Au point de départ, à une hauteur h, l'énergie est entièrement potentielle : E_p = mgh. Au point le plus bas, elle est entièrement cinétique : E_c = ½mv². Par conservation : mgh = ½mv², donc v = √(2gh). L'accélération centripète est liée à la vitesse tangentielle par a_c = v²/r, ce qui donne a_c = 2gh/r.
Cette équation montre que l'accélération centripète est directement proportionnelle à la hauteur h, avec un coefficient 2g/r. L'accéléromètre du smartphone, placé au bout du pendule, mesure directement cette accélération au point le plus bas. Le graphique de a_c en fonction de h devrait donner une droite dont la pente permet d'estimer 2g/r. Les écarts proviennent principalement des frottements qui dissipent une partie de l'énergie, surtout pour les grandes amplitudes.
Cette expérience illustre la puissance prédictive du principe de conservation de l'énergie.
Pour aller plus loin : Force vive (Wikipédia) retrace la querelle entre Leibniz et les cartésiens sur la grandeur qui se conserve dans le mouvement | Measuring g with a smartphone pendulum (Physics Education, accès libre, en anglais) détaille la mesure de g par pendule et accéléromètre de smartphone.
Extensions possibles
- Modifier la longueur du pendule et vérifier que la pente change comme prévu (2g/r)
- Comparer les résultats avec un chronomètre (mesure de la vitesse au point bas) et la relation v = √(2gh)
- Étudier l'amortissement en mesurant l'accélération centripète sur plusieurs oscillations successives
- Utiliser un smartphone plus léger ou plus lourd (avec un lest) pour vérifier l'indépendance par rapport à la masse
Questions fréquentes
Comment fixer le smartphone au fil de manière sûre ?
Utilisez une chaussette, un sac en tissu, ou du ruban adhésif solide pour maintenir le smartphone attaché au fil. Assurez-vous que la fixation est robuste avant de lâcher le pendule et placez des coussins au sol par précaution.
Comment identifier l'accélération centripète sur le graphique ?
Les pics d'accélération se produisent à chaque passage au point le plus bas, soit deux fois par période — ils sont espacés de T/2. En mesure « absolue », ces pics reposent sur une ligne de base proche de g ≈ 9,81 m/s² : l'accélération centripète est la hauteur du pic au-dessus de cette valeur, a_c = a_max − g. Utilise de préférence le premier pic après le lâcher, avant que les frottements n'atténuent le mouvement.
Pourquoi la pente expérimentale est-elle inférieure à la valeur théorique ?
Les frottements (air, point de fixation) dissipent une partie de l'énergie mécanique. La vitesse au point bas est donc légèrement inférieure à √(2gh), ce qui réduit l'accélération centripète mesurée par rapport à la prédiction théorique.
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