Mouvement circulaire uniforme

Un mouvement circulaire uniforme (MCU) est un mouvement dont la trajectoire est un cercle et dont la norme de la vitesse est constante. C’est pourtant un mouvement accéléré : le vecteur accélération, dirigé vers le centre, traduit le changement permanent de direction de la vitesse.

Observer expérimentalement le mouvement circulaire uniforme

Le gyroscope de FizziQ mesure la vitesse angulaire ω et l’accéléromètre l’accélération centripète : on peut donc vérifier expérimentalement la relation a = ω²R.

Étapes :

• Fixer solidement le smartphone à plat sur un plateau tournant (tourne-disque, essoreuse à salade, chaise de bureau) à une distance R connue de l’axe, mesurée au centre du téléphone.
• Sélectionner simultanément le gyroscope et l’accélération linéaire dans FizziQ, puis lancer l’enregistrement.
• Mettre en rotation et laisser tourner à régime le plus constant possible pendant une dizaine de secondes.
• Relever sur le plateau la vitesse angulaire ω (en rad/s) donnée par le gyroscope autour de l’axe vertical, et l’accélération mesurée dans le plan de rotation.
• Comparer l’accélération mesurée à ω²R : les deux valeurs doivent coïncider à quelques pour cent près.
• Recommencer à deux ou trois vitesses de rotation différentes et tracer a en fonction de ω² : les points doivent s’aligner sur une droite de pente R.

Activités scientifiques sur ce thème

Plusieurs expériences facilement réalisables avec un smartphone ou une tablette permettent de mesurer l’accélération centripète subie par un objet suivant une trajectoire circulaire uniforme :

• Un astronaute pourrait-il survivre si il était placé dans une essoreuse à salade ?
• Vérifier la relation entre vitesse de rotation et accélération centripète par mesure simultanée de données de l’accéléromètre et du gyroscope
• Mesure de l’accélération centripète pour un pendule à son point le plus bas
• Athlétisme : vitesse de lancer d’un marteau lors d’un entrainement
• Centrifugeuse : a = ω²r - vérifier la proportionnalité de l’accélération au carré de la vitesse angulaire.
• Accélération centripète : a = ω²R - mesurer directement l’accélération dirigée vers le centre.
• Période orbitale de la Lune - déterminer la période de révolution par observation.
• Orbite géostationnaire : Meteosat - relier période de 24 h et altitude d’un satellite météo.

En savoir plus

Uniforme ne veut pas dire sans accélération

Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse est tangent au cercle de la trajectoire, donc perpendiculaire au rayon durant tout le mouvement. La norme de ce vecteur est constante puisque le mouvement est uniforme. Par contre il n’est pas constant en direction. Or l’accélération mesure la variation du vecteur vitesse, pas seulement de sa norme : le MCU est donc un mouvement accéléré, avec une accélération non nulle en permanence, alors même que la vitesse ne varie pas en valeur. C’est l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre. Un mouvement à accélération réellement nulle est un mouvement rectiligne uniforme, et lui seul.

L’accélération centripète

Le vecteur accélération pointe constamment vers le centre du cercle, et sa valeur est :

a = v*v/R

v est la vitesse (m.s-1)

R est le rayon du cercle de la trajectoire (m)

a est l’accélération (m.s-2)

Vitesse angulaire et période

La vitesse angulaire est une mesure de la vitesse de rotation de l’objet en mouvement et est représentée par la lettre grecque ω (oméga). Elle est définie comme le changement d’angle θ par unité de temps t, soit ω = θ/t. Dans le MCU, la vitesse angulaire est constante.

L’accélération centripète est dirigée vers le centre de la trajectoire et a pour valeur v²/R. D’après la deuxième loi de Newton, elle impose l’existence d’une force résultante elle aussi dirigée vers le centre : tension d’un fil, force de frottement des pneus dans un virage, attraction gravitationnelle pour un satellite. Sans cette force, le mobile partirait en ligne droite selon la tangente, conformément au principe d’inertie.

La période de rotation est le temps nécessaire à un objet en mouvement circulaire pour effectuer une rotation complète. Elle est représentée par T et est déterminée par la formule T = 2πr/v, où π est une constante mathématique (approximativement égale à 3,14). La fréquence de rotation, notée f, est l’inverse de la période de rotation, soit f = 1/T.

Le MCU comme modèle des orbites

Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. La première énonce que les orbites sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer : ce n’est donc pas exactement un mouvement circulaire uniforme. La deuxième, la loi des aires, indique que le segment reliant la planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux, ce qui implique que la planète va plus vite lorsqu’elle est plus proche du Soleil. La troisième relie la période de révolution au demi-grand axe de l’orbite. Le MCU est le cas limite où l’ellipse devient un cercle : c’est une excellente approximation pour la Terre, dont l’excentricité orbitale ne vaut que 0,017, et un modèle exact pour les satellites artificiels placés sur orbite circulaire.

Ordres de grandeur

Grande roue de fête foraine : ω ≈ 0,03 rad/s, a ≈ 0,03 m/s². Manège de chevaux de bois : a ≈ 1 m/s². Essoreuse à salade : ω ≈ 60 rad/s, R = 10 cm, a ≈ 360 m/s² (37 g). Tambour de machine à laver à l’essorage : jusqu’à 400 g. Centrifugeuse de laboratoire : plusieurs milliers de g. Satellite en orbite basse : v ≈ 7 700 m/s, période 90 min. Satellite géostationnaire : altitude 35 786 km, période 24 h. Terre autour du Soleil : v ≈ 29 800 m/s, a ≈ 0,006 m/s².

Formule

L’accélération centripète, dirigée vers le centre du cercle :

a = v² / R = ω²·R

La vitesse linéaire se déduit de la vitesse angulaire :

v = ω·R

La période et la fréquence de rotation :

T = 2π·R / v = 2π / ω et f = 1 / T

La force centripète nécessaire au maintien du mouvement, d’après la deuxième loi de Newton :

F = m·v² / R = m·ω²·R

où :

• a : accélération centripète (m/s²)
• v : norme de la vitesse, constante (m/s)
• R : rayon de la trajectoire circulaire (m)
• ω : vitesse angulaire (rad/s)
• T : période de rotation (s)
• f : fréquence de rotation (Hz)
• m : masse du mobile (kg)
• F : valeur de la force résultante, dirigée vers le centre (N)

Exemples d’application

• Une voiture prenant un virage de 50 m de rayon à 20 m/s (72 km/h) subit une accélération centripète de 20²/50 = 8,0 m/s², soit 0,8 g : c’est le frottement des pneus qui la fournit.

• Un satellite en orbite basse à 400 km d’altitude parcourt son orbite à 7 700 m/s et boucle un tour en environ 90 minutes ; son accélération centripète, 8,7 m/s², est exactement l’accélération de la pesanteur à cette altitude.

• Une essoreuse à salade de 10 cm de rayon tournant à 600 tours par minute (ω = 63 rad/s) impose 63² × 0,10 ≈ 400 m/s², soit environ 40 g : l’eau est expulsée à travers les trous.

• Un satellite géostationnaire doit avoir une période de 24 h pour rester à la verticale du même point de l’équateur, ce qui fixe son altitude à 35 786 km.

• Un lanceur de marteau fait tourner l’engin de 7,26 kg au bout d’un fil de 1,2 m : à 25 m/s, la tension du fil vaut 7,26 × 25²/1,2 ≈ 3 800 N.

• Sur un manège, un enfant à 3 m de l’axe tournant à 0,6 rad/s subit 0,6² × 3 ≈ 1,1 m/s², une valeur bien perceptible.

FAQ

Q : Y a-t-il une accélération dans un mouvement circulaire uniforme ? R : Oui, toujours, et c’est le point clé. Le mot « uniforme » ne concerne que la norme de la vitesse. La direction du vecteur vitesse change en permanence, donc le vecteur vitesse varie, donc l’accélération est non nulle. Elle vaut v²/R et pointe vers le centre.

Q : La force centrifuge existe-t-elle ? R : Pas dans un référentiel galiléen. La seule force réelle est dirigée vers le centre. La « force centrifuge » est une force d’inertie, qui n’apparaît que si l’on choisit de se placer dans le référentiel tournant, non galiléen. Le passager d’une voiture en virage est plaqué contre la portière parce que son corps tend à continuer en ligne droite.

Q : Que se passe-t-il si la force centripète disparaît soudainement ? R : Le mobile part en ligne droite, selon la tangente au cercle au point où il se trouvait, et non radialement vers l’extérieur. C’est exactement le principe d’inertie. C’est ce qui se produit quand un fil casse ou qu’une voiture perd son adhérence.

Q : Quelle différence entre vitesse v et vitesse angulaire ω ? R : v est une vitesse linéaire, en m/s, tangente à la trajectoire. ω est un taux de rotation, en rad/s, identique pour tous les points d’un même solide en rotation. Elles sont reliées par v = ωR : sur un manège, tout le monde a le même ω, mais les places extérieures ont une vitesse v plus grande.

Q : Le mouvement d’un point de roue de vélo est-il circulaire uniforme ? R : Cela dépend du référentiel. Dans le référentiel du cadre, oui, si le vélo roule à vitesse constante. Dans le référentiel du sol, ce point décrit une cycloïde, courbe qui n’est pas un cercle. C’est un bon exemple pour montrer qu’on ne peut pas qualifier un mouvement sans avoir précisé le référentiel.

Concepts liés

Accélération centripète - Vitesse angulaire - Période de rotation - Fréquence - Force centripète - Référentiel galiléen - Principe d’inertie - Mouvement rectiligne uniforme (MRU) - Cinématique