L’énergie élastique est l’énergie stockée dans un corps déformé élastiquement, comme un ressort comprimé ou étiré. Elle vaut Ep = ½ k x², où k est la raideur et x la déformation, et se restitue quand le corps reprend sa forme.
Observer expérimentalement l’énergie élastique
L’énergie élastique se mesure indirectement, en deux temps : on détermine d’abord la raideur k du ressort, puis on vérifie que l’énergie stockée se restitue bien en énergie cinétique ou en hauteur.
Étapes :
- Suspendre des masses connues au ressort et mesurer l’allongement x pour chacune : la pente de F = f(x) donne k
- Contrôler que la droite reste droite : dès qu’elle s’incurve, on sort du domaine élastique et ½kx² ne s’applique plus
- Comprimer ou étirer le ressort d’une valeur x mesurée à la règle, puis libérer un projectile de masse m connue
- Filmer le départ et pointer dans le module Cinématique de FizziQ pour obtenir la vitesse initiale v
- Comparer ½kx² et ½mv², ou mesurer la hauteur atteinte et comparer ½kx² à mgh
- Recommencer pour trois valeurs de x, choisies aussi grandes que possible car x intervient au carré, et vérifier que l’énergie varie bien comme x² et non comme x
Activités scientifiques sur ce thème
- Saut à la perche : bilan d’énergie - suivre l’énergie cinétique de la course stockée dans la flexion de la perche, puis restituée en hauteur
- Constante de raideur : k = 4π²m/T²
- Oscillateur masse-ressort : période
- Amortissement : trois régimes
En savoir plus
Une origine naturelle
Comme toute énergie potentielle, l’énergie élastique est définie à une constante près. Mais, contrairement à l’énergie de pesanteur, elle possède ici une origine naturelle : la longueur à vide du ressort, c’est-à-dire l’état non déformé. C’est le choix universellement adopté, et il rend Ep élastique toujours positive, puisqu’elle varie en x².
D’où vient le facteur ½
L’énergie élastique n’est pas un postulat : elle se calcule. La force de rappel d’un ressort vaut F = k x (loi de Hooke, traitée en détail dans la fiche Loi de Hooke). Comme cette force n’est pas constante - elle croît proportionnellement à l’allongement -, on ne peut pas écrire W = F × x. Il faut prendre la force moyenne sur le trajet, qui vaut kx/2 puisque F croît linéairement de 0 à kx. D’où W = (kx/2) × x = ½kx².
Géométriquement, c’est l’aire du triangle sous la droite F = kx entre 0 et x. Ce raisonnement graphique est accessible dès la première et vaut mieux qu’une formule apprise par cœur : il explique du même coup pourquoi l’énergie varie en x² et non en x.
Uniquement dans le domaine élastique
La formule ½kx² suppose que la loi de Hooke s’applique, donc que la déformation est réversible et proportionnelle à la force. Au-delà de la limite d’élasticité, le matériau se déforme plastiquement : il ne reprend plus sa forme, une partie de l’énergie a servi à réorganiser la matière et est perdue en chaleur. Un ressort trop étiré reste allongé, un trombone plié ne se redresse pas. La courbe F = f(x) s’incurve alors, et l’énergie stockée n’est plus l’aire d’un triangle mais celle de la surface réelle sous la courbe.
Le cycle d’hystérésis
Même dans le domaine élastique, aucun matériau réel ne restitue 100 % de ce qu’il a reçu. En traçant F = f(x) à la charge puis à la décharge, on obtient deux courbes légèrement différentes : l’aire comprise entre elles est l’énergie dissipée en chaleur, appelée hystérésis. Elle est très faible pour un ressort en acier (quelques pour cent) et importante pour un caoutchouc - d’où l’échauffement d’un pneu qui roule, et le fait qu’une balle de tennis ne remonte jamais à sa hauteur de lâcher.
Ordres de grandeur : un stockage médiocre
Un ressort stocke peu d’énergie pour sa masse. Un bon ressort d’acier plafonne autour de 0,3 kJ·kg⁻¹, contre environ 500 kJ·kg⁻¹ pour une batterie lithium-ion et 45 000 kJ·kg⁻¹ pour l’essence. C’est pourquoi les ressorts servent à stocker de l’énergie brièvement et à la restituer vite (amortisseurs, mécanismes d’horlogerie, arcs), jamais à en emmagasiner beaucoup. Les tendons, à environ 2 kJ·kg⁻¹, font mieux que l’acier - ce qui explique le rôle du tendon d’Achille dans l’économie de la course à pied.
Au programme
L’énergie élastique apparaît en première spécialité dans les bilans d’énergie mécanique, et en terminale dans l’étude de l’oscillateur masse-ressort. Dans ce dernier cas, Ec et Ep élastique s’échangent deux fois par période, leur somme restant constante en l’absence d’amortissement : c’est l’analogue exact du pendule pesant, avec ½kx² à la place de mgh.
Formule
Énergie élastique stockée dans un ressort, origine prise à la longueur à vide :
Ep = ½ × k × x²
Force de rappel dont elle découle (loi de Hooke) :
F = −k × x
Bilan pour un oscillateur masse-ressort horizontal sans frottement :
Em = ½ m v² + ½ k x² = constante
Vitesse d’un projectile lancé par un ressort comprimé de x :
v = x × √(k/m)
où :
- Ep : énergie potentielle élastique (J)
- k : constante de raideur du ressort (N·m⁻¹)
- x : allongement ou compression par rapport à la longueur à vide (m)
- F : force de rappel (N), le signe moins indiquant qu’elle s’oppose à la déformation
- m : masse (kg)
- v : vitesse (m·s⁻¹)
- Em : énergie mécanique (J)
Exemples d’application
- Un ressort de raideur k = 200 N·m⁻¹ comprimé de 5,0 cm stocke ½ × 200 × 0,050² = 0,25 J. Comprimé de 10 cm, il en stocke 1,0 J : doubler la compression quadruple l’énergie.
- Ce même ressort, relâché sur une bille de 20 g, lui communique v = 0,05 × √(200/0,020) = 5,0 m·s⁻¹ dans le cas idéal.
- Une perche de saut absorbe environ 2 kJ pendant la phase d’appui et en restitue près de 90 % : c’est ce rendement élevé, propre aux matériaux composites, qui a permis de gagner près d’un mètre sur les records par rapport aux perches en bambou puis en acier.
- Un arc de compétition à 20 kgf bandé de 70 cm stocke de l’ordre de 60 J et transfère environ 75 à 80 % à la flèche, le reste partant dans les branches et la corde.
- Le tendon d’Achille restitue environ 90 % de l’énergie qu’il absorbe à chaque foulée, ce qui réduit d’environ un tiers le coût énergétique de la course.
FAQ
Q : Pourquoi ½kx² et pas kx² ? R : Parce que la force de rappel n’est pas constante : elle croît de 0 à kx pendant la déformation. Le travail se calcule avec la force moyenne, kx/2, d’où le facteur ½. C’est l’aire du triangle sous la droite F = kx.
Q : L’énergie élastique peut-elle être négative ? R : Non. Elle s’écrit ½kx² avec k > 0 et x² ≥ 0 : elle est toujours positive ou nulle, quel que soit le sens de la déformation. Étirer ou comprimer d’une même valeur stocke exactement la même énergie.
Q : Un ressort restitue-t-il toute l’énergie qu’on lui a donnée ? R : Presque, mais jamais tout. Une petite fraction est dissipée en chaleur par hystérésis interne - quelques pour cent pour l’acier, beaucoup plus pour le caoutchouc. Et si l’on dépasse la limite d’élasticité, une part importante sert à déformer définitivement le matériau et n’est jamais rendue.
Q : Où va l’énergie d’un élastique qu’on étire trop et qui reste déformé ? R : En chaleur et en réorganisation de la matière. On peut le sentir : étirez rapidement un gros élastique contre votre lèvre, il chauffe nettement. C’est la signature du travail plastique, irréversible.
Q : Quelle différence entre énergie élastique et énergie de pesanteur ? R : Ce sont deux formes d’énergie potentielle, associées à deux forces conservatives différentes. L’énergie de pesanteur varie linéairement avec la hauteur (mgh), l’énergie élastique varie au carré de la déformation (½kx²). Les deux se combinent dans le bilan d’énergie mécanique, par exemple dans un saut à la perche où l’une se transforme en l’autre.
Concepts liés
Loi de Hooke - Énergie potentielle - Énergie mécanique - Énergie cinétique - Conservation de l’énergie - Travail d’une force - Oscillateur masse-ressort - Choc élastique - Résonance