Incertitudes de mesure : guide lycée avec un smartphone

Q: Les capteurs d'un smartphone sont-ils fiables ?

Ils sont suffisamment fiables pour de très nombreuses expériences scientifiques, surtout pour comparer des situations et suivre des évolutions. Leur exactitude absolue, en revanche, varie selon les modèles et n'est pas garantie sans étalonnage. La bonne question n'est pas « fiable ou pas » mais « suffisant ou non pour la question posée » (Partie 19).

Q: Pourquoi une mesure varie-t-elle ?

Parce que de nombreuses petites causes se superposent : bruit électronique, vibrations, température, environnement, geste de l'opérateur, arrondis du logiciel. Cette variabilité est universelle ; on l'étudie en répétant la mesure (Partie 2).

Q: Que signifient les chiffres après la virgule ?

Ils reflètent le format d'affichage choisi par le logiciel, pas la qualité de la mesure. Seuls sont significatifs les chiffres qui restent stables au niveau de l'incertitude ; les décimales qui fluctuent sous le bruit n'apportent aucune information (Parties 6 et 14).

Q: Quelle est la différence entre précision et résolution ?

La résolution est le plus petit pas que l'instrument peut représenter ou afficher ; la « précision » désigne selon les contextes la fidélité ou l'exactitude du résultat. Un instrument à haute résolution peut être imprécis, et inversement (Partie 6).

Q: Quelle est la différence entre justesse et fidélité ?

La fidélité décrit le regroupement des mesures répétées (faible dispersion) ; la justesse décrit l'absence de biais par rapport à une référence. Une série peut être fidèle et fausse, ou dispersée et juste en moyenne (Partie 4).

Q: Quelle est la différence entre erreur et incertitude ?

L'erreur est l'écart réel - généralement inconnu - entre le résultat et la valeur recherchée. L'incertitude est l'estimation, calculable, du doute associé au résultat (Partie 5).

Q: À quoi sert l'écart-type ?

À chiffrer la dispersion d'une série de mesures autour de sa moyenne. Il ne mesure ni l'erreur ni la justesse : deux séries de même écart-type peuvent être l'une centrée sur la référence, l'autre très décalée (Partie 3).

Q: Pourquoi répéter une mesure ?

Pour rendre la variabilité visible, détecter les valeurs aberrantes, et réduire l'incertitude statistique sur la moyenne, qui décroît comme s/√n. La répétition ne corrige toutefois aucun biais (Parties 3 et 11).

Q: Combien de mesures faut-il réaliser ?

Il n'y a pas de nombre magique : une dizaine de mesures donne déjà une bonne image de la dispersion, et l'incertitude sur la moyenne ne diminue ensuite que lentement (en 1/√n). Mieux vaut 10 mesures dans un protocole stable que 100 dans des conditions changeantes (Partie 11).

Q: Qu'est-ce qu'une incertitude de type A ?

Une incertitude-type évaluée statistiquement à partir d'une série de mesures répétées : u_A = s/√n dans les conditions appropriées (Partie 11).

Précision, erreurs, étalonnage et intervalle de confiance avec les capteurs numériques et FizziQ

Un smartphone immobile posé sur une table peut afficher successivement 9,79 puis 9,83 puis 9,80 m·s⁻² - ou parfois une valeur à six décimales. Que faut-il en retenir ? Ce guide utilise les capteurs du smartphone et l’application FizziQ pour rendre concrètes les notions de variabilité, d’erreur, de biais, d’étalonnage et d’incertitude, du lycée à la première année d’université. Car le numérique ne supprime pas l’incertitude : il la rend seulement moins visible.

Table des matières

Introduction - Un affichage numérique est-il nécessairement précis ?
Qu’est-ce qu’une mesure ?
Pourquoi les résultats varient-ils ?
Comment résumer une série de mesures ?
Justesse, fidélité et illusion de précision
Erreur, biais et incertitude
Résolution, sensibilité et bruit
Fréquence d’échantillonnage et phénomènes rapides
Plage de mesure et saturation
Répétabilité et reproductibilité
Étalonner un instrument numérique
Évaluer l’incertitude de type A
Évaluer l’incertitude de type B
Combiner des incertitudes simples
Présenter correctement un résultat
Comparer une mesure à une valeur de référence
Incertitude de mesure et intervalle de confiance
Les capteurs comme études de cas
Douze activités pédagogiques avec FizziQ
Quand un smartphone est-il suffisant ?
Erreurs et confusions fréquentes
Questions fréquentes
Conclusion
Sources et références

Introduction - Un affichage numérique est-il nécessairement précis ?

Posez un smartphone parfaitement immobile sur une table, ouvrez l’instrument Accélération absolue (ou Accélération avec gravité) dans FizziQ et observez l’écran. Les valeurs défilent :

9,79 ; 9,83 ; 9,80 ; 9,82 m · s⁻²

Et selon le format d’affichage, l’application peut même montrer une valeur telle que :

9,813742 m · s⁻²

Six questions se posent immédiatement - ce sont les questions de ce guide. Pourquoi les valeurs varient-elles alors que le téléphone ne bouge pas ? Quelle valeur faut-il retenir ? Tous ces chiffres sont-ils significatifs ? Quelle est l’incertitude du résultat ? Ce résultat est-il compatible avec une valeur de référence de g ? Et deux autres smartphones donneraient-ils la même chose ?

La réponse tient en une phrase : un smartphone peut produire des mesures scientifiquement utiles, mais l’affichage seul ne permet pas d’en connaître la qualité. Il faut étudier la variabilité, le protocole, les biais, la résolution, l’étalonnage et l’incertitude. C’est exactement ce que l’on apprend, à des degrés divers, de la seconde à la première année d’université - et le smartphone est un formidable outil pour l’apprendre, précisément parce qu’il produit vite beaucoup de données réelles et imparfaites.

Ce que l’on apprend selon le niveau. Ce guide couvre volontairement toute la progression officielle ; chaque enseignant y puise ce qui correspond à sa classe.

Seconde : observer et décrire la variabilité (série de mesures, histogramme, moyenne, écart-type), évaluer une incertitude-type par une approche statistique (évaluation de type A) et écrire un résultat avec un nombre adapté de chiffres significatifs.

Première : ajouter l’évaluation d’une incertitude-type à partir des caractéristiques de l’instrument (évaluation de type B), et comparer qualitativement un résultat à une valeur de référence.

Terminale : combiner des incertitudes à l’aide d’une formule fournie, et comparer quantitativement à une référence par l’écart normalisé z.

Première année d’université : construire et interpréter un intervalle de confiance (loi de Student).

Avec les instruments analogiques, les limites de lecture sont visibles : on voit la taille des graduations d’une règle, la largeur du trait, la position de l’aiguille, la parallaxe, la difficulté d’interpoler entre deux traits. On sait spontanément combien de chiffres conserver. Avec un instrument numérique, l’écran affiche des décimales avec une assurance trompeuse : le nombre de décimales affichées ne renseigne pas directement sur la qualité de la mesure. La qualité d’une mesure numérique dépend du capteur, de son étalonnage, de sa résolution effective, de son bruit, de sa plage de mesure, de sa fréquence d’échantillonnage, des traitements logiciels, du protocole, de l’environnement, de l’opérateur et du traitement statistique des données.

Dans ce guide, FizziQ sert d’outil principal : l’application donne accès aux capteurs, enregistre des séries de mesures, trace des graphiques et des histogrammes, permet les calculs statistiques dans son tableur, et documente l’ensemble dans un cahier d’expériences. Toutes les notions présentées restent néanmoins générales : elles s’appliquent à n’importe quelle application, à des capteurs externes, à des instruments analogiques comme à des instruments de laboratoire.

Partie 1 - Qu’est-ce qu’une mesure ?

1.1 Une mesure n’est pas seulement un nombre

Mesurer, c’est attribuer une valeur numérique à une grandeur (une longueur, une durée, une accélération, un niveau sonore…) exprimée dans une unité. Quelques termes précis, illustrés sur l’exemple de l’accéléromètre :

Le mesurande est la grandeur que l’on cherche à mesurer - par exemple l’intensité de la pesanteur g en un lieu donné.
L’indication est ce qu’affiche l’appareil - par exemple 9,82 m·s⁻².
La valeur mesurée est la valeur attribuée au mesurande à partir d’une ou plusieurs indications, après application du protocole (moyenne, corrections…).
Le résultat de mesure est l’ensemble complet : une valeur, une unité, les conditions dans lesquelles la mesure a été faite, et une estimation de l’incertitude lorsque c’est pertinent.
Le protocole décrit comment on s’y prend : position de l’appareil, durée, nombre de répétitions, conditions expérimentales.

Un nombre seul - « 9,82 » - n’est pas un résultat de mesure. « g = (9,81 ± 0,06) m·s⁻², smartphone posé sur une table stable, moyenne de 30 s d’enregistrement » en est un.

1.2 Que mesure réellement le smartphone ?

Avant d’interpréter un nombre, il faut comprendre comment ce nombre a été produit. Or les capteurs d’un smartphone ne mesurent pas toujours ce que leur nom suggère :

L’accéléromètre ne mesure pas « l’accélération du mouvement » au sens du cours de mécanique : il mesure une force spécifique qui inclut l’effet de la pesanteur. C’est pourquoi un téléphone immobile affiche environ 9,81 m·s⁻² et non zéro. FizziQ propose d’ailleurs plusieurs instruments distincts - accélération linéaire (sans gravité), accélération avec gravité, accélération absolue - qui sont autant de traitements différents du même capteur.
Le magnétomètre mesure trois composantes du champ magnétique ; la « norme » affichée est calculée à partir de ces composantes.
Le sonomètre ne mesure pas directement une pression acoustique : il affiche un niveau en décibels calculé à partir du signal numérisé du microphone, avec un étalonnage approximatif.
Le GPS ne mesure pas une vitesse instantanée au sens strict : la vitesse est déterminée à partir du signal et des positions successives.
L’analyse vidéo ne mesure pas une vitesse : elle enregistre des positions pointées, à partir desquelles les vitesses et accélérations sont calculées par différences.

1.3 Mesure directe et grandeur calculée

Il faut donc distinguer quatre niveaux, souvent confondus derrière un même affichage :

la valeur directement issue d’un capteur (les composantes brutes de l’accéléromètre) ;
la valeur obtenue après filtrage (FizziQ propose par exemple un lissage réglable du signal dans ses réglages) ;
la valeur obtenue par fusion de plusieurs capteurs (l’orientation du téléphone combine accéléromètre, gyroscope et magnétomètre) ;
la valeur calculée à partir d’autres mesures (une vitesse v = d/t, une accélération dérivée de positions pointées).

Chaque étape de calcul transforme la mesure - et transforme aussi son incertitude, comme on le verra en Partie 13.

À retenir. Avant d’interpréter un nombre affiché, se demander : quelle grandeur physique le capteur détecte-t-il réellement, et quels calculs séparent cette détection du nombre à l’écran ?

Partie 2 - Pourquoi les résultats varient-ils ?

2.1 Répéter une mesure

L’expérience fondatrice de tout ce guide tient en une consigne :

Poser un smartphone immobile sur une table et enregistrer l’accélération pendant trente secondes avec FizziQ (instrument Accélération absolue, ou Accélération avec gravité, pour lire une valeur proche de 9,81 m·s⁻²).

Le résultat surprend toujours : la courbe n’est pas une droite parfaitement plate. Les valeurs fluctuent autour d’une valeur centrale. Une même opération, répétée dans des conditions apparemment identiques, ne donne pas toujours exactement le même résultat - c’est la variabilité de la mesure, et elle est universelle : elle existe aussi avec les instruments de laboratoire, simplement à des échelles parfois plus petites.

2.2 Causes de variabilité

D’où viennent ces fluctuations ? De nombreuses sources se superposent : le bruit électronique du capteur lui-même ; les vibrations de la table, du bâtiment, des pas dans le couloir ; l’instabilité de la position de l’appareil ; les variations de température qui modifient légèrement la réponse du capteur ; l’environnement électromagnétique (pour le magnétomètre notamment) ; les fluctuations de la source mesurée elle-même ; le geste de l’opérateur et le déclenchement (on ne lance jamais deux chronométrages exactement de la même façon) ; les algorithmes de filtrage et les arrondis du logiciel ; et les variations temporelles réelles du phénomène étudié.

Certaines de ces causes produisent des fluctuations aléatoires ; d’autres, on le verra, produisent des décalages systématiques. Les distinguer est l’un des objectifs centraux du guide.

2.3 Représenter une série

Une série de mesures se décrit d’abord graphiquement, avant tout calcul :

le tableau de valeurs (FizziQ construit automatiquement un tableau lorsqu’on effectue plusieurs captures instantanées du même instrument) ;
le graphique temporel, qui montre la fluctuation au cours du temps et révèle une éventuelle dérive ;
l’histogramme, qui montre comment les valeurs se répartissent (dans FizziQ, le mode d’affichage « Statistiques » d’un graphique affiche les occurrences des différentes valeurs mesurées ; dans FizziQ Web et en Python, on trace l’histogramme à partir des données exportées) ;
le minimum, le maximum et l’étendue E = x_max - x_min, première description chiffrée de la dispersion.

2.4 Valeur aberrante

Dans une série apparaît parfois une valeur très éloignée des autres. Avant de l’écarter, il faut chercher sa cause : elle peut provenir d’une perturbation réelle (un choc sur la table), d’une erreur de manipulation, d’une perte de données, d’un dysfonctionnement ponctuel - ou d’un phénomène physique authentique qu’il serait incorrect d’éliminer sans justification.

À retenir. On ne supprime jamais automatiquement une valeur parce qu’elle est différente des autres. On la supprime seulement si l’on peut identifier et documenter la faute ou la perturbation qui l’explique.

Partie 3 - Comment résumer une série de mesures ?

3.1 La moyenne

La moyenne arithmétique d’une série de n mesures x₁, x₂, …, xₙ est :

x̄ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ

où x̄ est la moyenne, n le nombre de mesures et xᵢ la i-ième valeur mesurée. La moyenne fournit une valeur centrale de la série - c’est en général elle que l’on retient comme valeur mesurée. Mais elle ne dit rien de la dispersion : deux séries de même moyenne peuvent être l’une très resserrée, l’autre très étalée.

Exemple (série de l’introduction) : x̄ = (9,79 + 9,83 + 9,80 + 9,82)/4 = 9,810 m·s⁻².

3.2 L’étendue

L’étendue est la première description simple de la dispersion :

E = x_max - x_min

Elle est immédiate à calculer et à comprendre, mais fragile : elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes, donc une seule valeur aberrante la fait exploser, et elle augmente mécaniquement avec le nombre de mesures.

3.3 L’écart-type expérimental

L’écart-type expérimental caractérise la dispersion des observations autour de la moyenne :

s = √((Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ - x̄)²)/(n-1))

où s est l’écart-type expérimental, xᵢ les valeurs mesurées, x̄ leur moyenne et n leur nombre. Plus s est grand, plus les mesures sont dispersées. L’écart-type s’exprime dans la même unité que la grandeur mesurée.

Exemple : pour la série 9,79 ; 9,83 ; 9,80 ; 9,82 m·s⁻², les écarts à la moyenne valent −0,02 ; +0,02 ; −0,01 ; +0,01, d’où s = √((0,0004+0,0004+0,0001+0,0001)/3) ≈ 0,018 m·s⁻².

Attention au vocabulaire : l’écart-type n’est pas « l’erreur » de la mesure. Il décrit la dispersion des observations, rien de plus.

3.4 Dispersion et incertitude sur la moyenne

C’est la distinction la plus souvent mal comprise de tout le chapitre :

s décrit la dispersion des mesures individuelles : si l’on fait une mesure de plus, elle tombera typiquement à ± s de la moyenne. Multiplier les mesures ne réduit pas s : la dispersion est une propriété du processus de mesure.
s/√n caractérise, dans certaines conditions (voir Partie 11), l’incertitude statistique sur la moyenne : plus on accumule de mesures, mieux la moyenne est déterminée, même si chaque mesure individuelle reste aussi dispersée qu’avant.

Autrement dit : répéter les mesures n’améliore pas chaque mesure, mais améliore la connaissance de leur moyenne.

3.5 Niveau scolaire

Pour situer ces notions dans les programmes français de physique-chimie : l’exploitation d’une série de mesures indépendantes par histogramme, moyenne et écart-type relève du lycée dès la classe de seconde ; l’interprétation détaillée de s/√n comme incertitude-type sur la moyenne est travaillée en première, terminale puis en début d’université selon le contexte.

Partie 4 - Justesse, fidélité et illusion de précision

4.1 Fidélité

Une série de mesures est fidèle lorsque les résultats répétés sont peu dispersés : les valeurs se ressemblent. La fidélité se lit sur l’écart-type : petit s, bonne fidélité.

4.2 Justesse

Une méthode de mesure est juste lorsque son biais par rapport à une valeur de référence est faible : la moyenne d’un grand nombre de mesures tombe près de la valeur de référence. La justesse ne se voit pas dans la série elle-même - il faut une référence extérieure pour l’évaluer.

4.3 Quatre situations

Ces deux qualités sont indépendantes, ce qui donne quatre situations possibles :

Situation	Dispersion	Écart de la moyenne à la référence
Fidèle et juste	Faible	Faible
Fidèle mais biaisée	Faible	Important
Juste en moyenne mais peu fidèle	Importante	Faible
Ni juste ni fidèle	Importante	Important

L’image classique de la cible (flèches groupées ou non, centrées ou non) illustre bien ces quatre cas - mais elle n’est qu’une illustration : dans la réalité, on ne « voit » pas le centre de la cible, puisque la valeur vraie est inconnue.

4.4 Exactitude et précision

L’exactitude est la qualité globale d’un résultat : un résultat exact est à la fois juste et fidèle. Le mot « précision », très courant, est ambigu : selon les contextes il désigne la fidélité, la résolution, ou l’exactitude entière - c’est pourquoi ce guide lui préfère les termes précis. Et surtout : un appareil qui affiche de nombreux chiffres n’est pour autant ni fidèle, ni juste, ni correctement étalonné. L’affichage est un choix de format, pas une qualité métrologique.

4.5 Exemple avec FizziQ

Faites mesurer g (accéléromètre avec gravité, téléphone posé à plat, 30 s d’enregistrement, moyenne) par deux smartphones différents :

le premier donne des valeurs très regroupées (s petit) mais dont la moyenne vaut 9,95 m·s⁻² ;
le second donne des valeurs plus dispersées, mais de moyenne 9,81 m·s⁻².

Quel appareil est le plus fidèle ? Le premier. Quel appareil semble le plus juste ? Le second. Quel résultat est le plus utile ? Cela dépend de la question posée : pour suivre une variation d’accélération, la fidélité du premier est précieuse ; pour déterminer la valeur de g, la justesse du second l’emporte - et le premier deviendrait excellent après étalonnage (Partie 10).

Partie 5 - Erreur, biais et incertitude

Cette partie est le cœur conceptuel du guide.

5.1 Erreur de mesure

L’erreur de mesure est la différence entre une valeur mesurée et la valeur vraie du mesurande (ou une valeur de référence qui en tient lieu). Difficulté fondamentale : la valeur vraie est généralement inconnue - si on la connaissait, on ne mesurerait pas. L’erreur réelle ne peut donc généralement pas être calculée exactement. On peut en revanche en étudier les composantes et en estimer l’ampleur probable.

5.2 Biais ou effet systématique

Un biais (ou effet systématique) est une composante de l’erreur qui se reproduit à l’identique d’une mesure à l’autre. Exemples concrets avec un smartphone : un mauvais réglage du zéro de l’accéléromètre ; un facteur d’échelle incorrect (le capteur « compte » 2 % de trop) ; un défaut d’alignement (le téléphone n’est pas exactement horizontal) ; une distance de référence mal mesurée en analyse vidéo ; un microphone non étalonné qui décale tous les niveaux sonores ; l’influence permanente d’un aimant ou d’une structure métallique sur le magnétomètre ; une erreur de perspective dans un pointage vidéo ; un traitement logiciel (filtrage, gain automatique) qui déforme systématiquement le signal.

Propriété essentielle : un biais ne disparaît pas en répétant la mesure. Mille mesures avec un zéro décalé donnent une moyenne très bien déterminée… du mauvais résultat.

5.3 Dispersion aléatoire

La dispersion aléatoire regroupe les variations imprévisibles autour de la valeur moyenne : le bruit, les micro-vibrations, les petites différences de geste. Contrairement au biais, ses effets se compensent partiellement : répéter et moyenner réduit l’incertitude statistique qui en découle (c’est le s/√n de la Partie 3).

5.4 Différence entre erreur et incertitude

Encadré - Différence entre erreur et incertitude. L’erreur est l’écart réel, généralement inconnu, entre le résultat et la valeur recherchée. L’incertitude caractérise le doute que l’on associe au résultat : c’est une estimation, calculable, de l’ampleur des erreurs plausibles. On ne connaît pas son erreur ; on évalue son incertitude.

Il ne faut pas dire que l’incertitude est « l’erreur probable » sans explication : l’incertitude ne désigne pas une erreur particulière, mais la largeur du doute raisonnable autour du résultat, compte tenu de tout ce que l’on sait du processus de mesure.

5.5 Faute de manipulation

Une faute n’est ni une erreur aléatoire ni un biais à intégrer dans l’incertitude : c’est un dysfonctionnement identifiable du protocole. Exemples : se tromper d’unité ; enregistrer l’axe Y au lieu de l’axe Z ; faire une erreur de saisie ; couvrir le capteur avec un doigt ; déplacer l’appareil pendant la mesure de référence ; utiliser une mauvaise formule.

À retenir. Une faute identifiée se corrige (on refait la mesure ou le calcul) ; elle ne s’intègre jamais artificiellement dans une incertitude.

Partie 6 - Résolution, sensibilité et bruit

6.1 Résolution d’affichage

La résolution d’affichage est le plus petit pas visible à l’écran : si l’application affiche 9,8137, le pas d’affichage vaut 0,0001. Ce pas résulte souvent d’un simple choix de format du logiciel - il ne dit rien de la qualité du capteur. Dans les tableaux de FizziQ, le nombre de décimales affichées est d’ailleurs un paramètre que l’utilisateur peut régler colonne par colonne.

6.2 Résolution nominale du capteur

La résolution nominale est la plus petite variation que la chaîne matérielle (capteur + convertisseur analogique-numérique) peut théoriquement représenter : elle dépend du composant et du nombre de bits de la conversion. Elle varie d’un modèle de smartphone à l’autre et n’est généralement pas documentée pour l’utilisateur final.

6.3 Résolution effective

La résolution effective est ce que l’on peut réellement distinguer en pratique - et elle est souvent limitée par le bruit, pas par le pas numérique. Exemple typique : l’affichage donne des millièmes, mais le signal d’un capteur immobile fluctue de plusieurs centièmes. Les millièmes affichés changent alors en permanence et de façon aléatoire : ils ne sont pas significatifs. Le bruit, visible en enregistrant le capteur au repos, fixe la limite pratique de la mesure.

Encadré - Différence entre résolution et précision. La résolution est le plus petit écart que l’instrument peut afficher ou représenter ; elle ne garantit ni fidélité ni justesse. Un instrument peut afficher des millièmes (haute résolution) tout en fluctuant de plusieurs centièmes (résolution effective limitée par le bruit) et en étant décalé de plusieurs dixièmes (biais). La qualité d’une mesure ne se lit pas dans le nombre de décimales.

6.4 Sensibilité

La sensibilité d’un capteur est la variation de sa sortie pour une variation donnée de la grandeur d’entrée. Un capteur très sensible détecte de petites variations - ce qui ne le rend ni juste ni fidèle pour autant : sensibilité, résolution et exactitude sont trois notions distinctes.

6.5 Activité avec FizziQ

Enregistrer 30 secondes d’un capteur immobile (accéléromètre en Accélération absolue, ou magnétomètre), puis répondre : combien de décimales sont affichées ? Quelle est l’amplitude des fluctuations (l’étendue, lue en zoomant sur le graphique) ? Quelle décimale semble réellement stable ? Comment faudrait-il arrondir le résultat ? Cette activité de vingt minutes suffit à établir l’idée directrice du guide : les décimales affichées et les décimales significatives sont deux choses différentes.

Partie 7 - Fréquence d’échantillonnage et phénomènes rapides

7.1 Définition

La fréquence d’échantillonnage est le nombre de valeurs acquises par seconde, en hertz. Il faut en réalité distinguer plusieurs fréquences qui ne coïncident pas nécessairement : la fréquence à laquelle le capteur produit des données ; la fréquence d’acquisition retenue par l’application (réglable dans FizziQ, dans la limite du capteur) ; la fréquence de rafraîchissement de l’affichage ; et la fréquence des données exportées. Dans FizziQ, les fréquences maximales dépendent du capteur et du modèle d’appareil : typiquement quelques dizaines à une centaine de hertz pour l’accéléromètre ou le gyroscope, environ un hertz pour le GPS ou le baromètre, et beaucoup plus pour le microphone.

7.2 Conséquences d’un échantillonnage insuffisant

Un système qui échantillonne trop lentement peut : manquer un maximum (le pic d’un choc tombe entre deux échantillons) ; sous-estimer un choc pour la même raison ; déformer un mouvement rapide, qui paraît anguleux ou lissé ; donner une fréquence incorrecte pour une oscillation ; voire faire apparaître un faux signal lent qui n’existe pas dans le phénomène (repliement).

Pour aller plus loin - première année d’université. Le critère de Shannon-Nyquist énonce qu’un signal ne peut être correctement représenté que si la fréquence d’échantillonnage dépasse le double de la plus haute fréquence présente dans le signal. En dessous, les composantes rapides « se replient » en fausses composantes lentes. Ce principe, admis ici sans démonstration, explique les faux signaux observés lorsqu’on filme une roue qui semble tourner à l’envers.

7.3 Activité

Avec le même réglage d’acquisition, enregistrer successivement : un mouvement lent (lever et reposer doucement le téléphone), une vibration rapide (téléphone posé sur une enceinte), un choc bref (petite tape sur la table). Comparer les trois enregistrements : quelles informations sont correctement restituées, lesquelles sont manifestement tronquées ou déformées ? Refaire l’expérience en réduisant la fréquence d’échantillonnage dans les réglages de FizziQ pour rendre la dégradation visible.

Partie 8 - Plage de mesure et saturation

8.1 Plage de mesure

La plage de mesure est l’intervalle de valeurs dans lequel le capteur peut fournir une indication exploitable. En dessous, le signal se noie dans le bruit ; au-dessus, le capteur sature. Chaque capteur de smartphone a sa plage, qui varie selon les modèles et n’est pas toujours documentée.

8.2 Saturation

La saturation se reconnaît à des signes caractéristiques : la valeur plafonne ; la même valeur maximale se répète exactement ; les crêtes d’un signal oscillant sont aplaties ; l’affichage n’augmente plus alors que le phénomène s’intensifie manifestement ; le signal est déformé.

8.3 Valeur stable mais fausse

Point crucial : une mesure saturée peut être extrêmement stable - le capteur affiche imperturbablement sa valeur maximale. L’absence de fluctuation ne garantit donc pas la qualité d’une mesure : un signal saturé, ou fortement filtré par le logiciel, peut être à la fois très stable et complètement faux. La stabilité est une condition agréable, pas une preuve.

8.4 Activité

Produire un phénomène d’intensité croissante - secouer le téléphone de plus en plus fort devant l’accéléromètre, ou approcher progressivement une source sonore forte du microphone - et repérer le moment où l’affichage cesse d’évoluer normalement : plafonnement de la courbe, crêtes aplaties. Noter la valeur de plafonnement observée : c’est une estimation expérimentale de la limite de plage de son propre appareil.

Partie 9 - Répétabilité et reproductibilité

9.1 Répétabilité

La répétabilité caractérise la dispersion obtenue quand on répète la mesure dans des conditions aussi identiques que possible : même appareil, même opérateur, même protocole, mêmes conditions, sur une courte durée. C’est la dispersion « plancher » du processus de mesure.

9.2 Reproductibilité

La reproductibilité caractérise la dispersion obtenue quand on change un élément significatif : l’appareil, le groupe d’élèves, le jour, la salle, la version du système d’exploitation, l’orientation du téléphone, ou la méthode elle-même. La reproductibilité est presque toujours moins bonne que la répétabilité - et l’écart entre les deux est riche d’enseignements.

9.3 Expérience de classe

Faire mesurer le même phénomène - par exemple g au repos, ou le niveau sonore d’une source fixe - par tous les smartphones de la classe, chacun répétant la mesure plusieurs fois. L’analyse sépare alors quatre choses : la dispersion des répétitions sur chaque appareil (répétabilité individuelle) ; les différences entre les moyennes des appareils (effet instrument) ; les effets liés aux utilisateurs (gestes, positionnements) ; les effets liés à l’environnement (place dans la salle, table qui vibre). Le tableur de FizziQ, ou la mise en commun par QR code des observations, permet de rassembler et comparer ces séries.

9.4 Enjeu pédagogique

La diversité des smartphones d’une classe est souvent vécue comme un défaut. C’est en réalité une opportunité pédagogique rare : un parc d’instruments tous différents, qui permet d’enseigner concrètement la reproductibilité, la comparaison instrumentale, la nécessité d’un protocole commun, et les limites de toute généralisation (« le smartphone mesure g à 1 % » n’a pas de sens ; « ce smartphone-ci, ce jour-là, avec ce protocole » en a un).

Partie 10 - Étalonner un instrument numérique

10.1 Définition accessible

Étalonner un instrument consiste à comparer ses indications à des valeurs de référence afin de caractériser la relation entre les deux. L’étalonnage répond à la question : quand l’instrument affiche x, quelle est la valeur de référence correspondante ?

10.2 Étalonnage et mise à zéro

Plusieurs opérations, de complexité croissante, sont souvent confondues sous le mot « calibration » : la mise à zéro (faire afficher zéro en l’absence du phénomène) ; la correction d’un décalage (soustraire un biais constant) ; la correction d’un facteur d’échelle (multiplier par un coefficient) ; l’étalonnage en plusieurs points (caractériser la relation sur toute la plage utile). Une mise à zéro ne corrige qu’un décalage : elle ne garantit rien sur le reste de la plage.

10.3 Ajustage et correction

Deux stratégies existent une fois l’écart caractérisé : ajuster l’instrument (modifier son réglage pour qu’il affiche juste - c’est ce que fait le réglage de calibration du sonomètre de FizziQ, qui applique un décalage en décibels, ou la calibration du magnétomètre par rotations en forme de 8) ; ou appliquer une correction aux résultats a posteriori, dans le tableur. Dans les deux cas, deux bonnes pratiques : conserver les données brutes, et préciser dans le compte rendu la méthode de correction utilisée.

10.4 Domaine de validité

Une correction déterminée dans une situation donnée n’est pas automatiquement valable partout : elle peut ne pas s’appliquer à toutes les valeurs (un sonomètre corrigé à 60 dB peut rester faux à 90 dB), à toutes les fréquences, à toutes les orientations du capteur, ni à tous les environnements. Un étalonnage a un domaine de validité, qu’il faut expliciter.

10.5 Étude de cas : l’accéléromètre et la pesanteur

La pesanteur fournit une référence naturelle et gratuite. Protocole : poser le téléphone successivement dans trois orientations - axe étudié vertical vers le haut, vertical vers le bas, puis horizontal - et enregistrer quelques secondes dans chaque position. On étudie alors : le zéro (l’indication en position horizontale, qui devrait être nulle) ; les indications proches de +g et -g ; la dispersion dans chaque position ; un éventuel biais (par exemple si la demi-somme des indications haut/bas n’est pas nulle, le zéro est décalé ; si la demi-différence s’écarte de g, le facteur d’échelle est incorrect) ; et une correction simple (décalage et facteur) que l’on peut appliquer dans le tableur. C’est l’Activité 5 de la Partie 18.

10.6 Étude de cas : le sonomètre

Comparer le sonomètre FizziQ à un sonomètre de référence, en maintenant rigoureusement : même position, même orientation, même source, même fréquence, même durée de mesure. L’écart observé fournit la correction à appliquer - dans FizziQ, directement via le réglage de calibration du sonomètre. Mais attention au domaine de validité : une correction unique en décibels, déterminée à une fréquence et un niveau donnés, ne garantit pas l’exactitude à toutes les fréquences ni à tous les niveaux, car la réponse du microphone n’est pas uniforme.

Partie 11 - Évaluer l’incertitude de type A

11.1 Principe

L’évaluation de type A d’une incertitude repose sur l’analyse statistique d’une série de mesures répétées : on laisse les données elles-mêmes révéler la dispersion du processus.

11.2 et 11.3 Moyenne et écart-type

Les outils sont ceux de la Partie 3 :

x̄ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ et s = √((Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ-x̄)²)/(n-1))

Dans FizziQ, les fonctions MOYENNE et ECARTYPE du tableur intégré effectuent ces calculs sur une colonne de mesures ; on vérifiera, comme pour tout tableur, que la fonction d’écart-type utilisée correspond bien à l’écart-type expérimental (dénominateur n - 1). L’export CSV ou Python permet le même traitement dans un tableur classique ou en programmation.

11.4 Incertitude-type sur la moyenne

Dans les conditions appropriées, l’incertitude-type associée à la moyenne est :

u_A(x̄) = s/√n

Cette expression suppose notamment : des observations réellement répétées ; des conditions suffisamment stables pendant la série ; une dispersion de nature aléatoire ; l’absence de dérive importante (pas de température qui monte, pas de batterie qui influe) ; et des valeurs suffisamment indépendantes les unes des autres (un signal fortement filtré produit des valeurs successives corrélées, ce qui rend s/√n trop optimiste).

Exemple complet : la série 9,79 ; 9,83 ; 9,80 ; 9,82 m·s⁻² donne x̄ = 9,810 m·s⁻², s ≈ 0,018 m·s⁻², et u_A(x̄) = 0,018/√4 = 0,009 m·s⁻².

Encadré - Différence entre écart-type et incertitude-type. L’écart-type s décrit la dispersion des mesures individuelles : il ne diminue pas quand on multiplie les mesures. L’incertitude-type sur la moyenne u_A = s/√n décrit le doute sur la valeur moyenne : elle diminue quand n augmente. Confondre les deux conduit soit à surestimer, soit à sous-estimer l’incertitude d’un facteur √n.

11.5 Ce que le type A ne corrige pas

L’évaluation statistique ne voit que la dispersion. Elle ne supprime ni ne détecte : un mauvais étalonnage ; une erreur de zéro ; une erreur de formule ; une saturation ; ni aucun biais commun à toutes les mesures. Une incertitude de type A minuscule peut accompagner un résultat très faux.

11.6 Activité

Mesurer la même grandeur 5, puis 10, puis 30 fois (les captures instantanées de FizziQ, rassemblées automatiquement en tableau, s’y prêtent bien). Comparer pour chaque taille d’échantillon : la moyenne, l’écart-type, et l’incertitude-type sur la moyenne. Constater que s reste à peu près stable tandis que s/√n diminue - et expliquer pourquoi : la dispersion est une propriété du processus, le doute sur la moyenne dépend de l’effort statistique.

Partie 12 - Évaluer l’incertitude de type B

12.1 Principe

L’évaluation de type B utilise des informations autres qu’une série statistique : la résolution d’un affichage, une spécification du constructeur, la tolérance d’un instrument, l’incertitude d’une valeur de référence, l’incertitude sur une distance mesurée au mètre ruban, un intervalle de lecture, l’effet estimé de l’orientation, ou la fréquence d’image d’une vidéo. On l’utilise notamment quand on ne dispose que d’une mesure unique.

12.2 Cas d’un intervalle uniforme

Si l’on peut affirmer que la valeur se trouve quelque part entre x - a et x + a, sans raison de privilégier une zone de cet intervalle (répartition supposée uniforme), on adopte comme incertitude-type :

u_B(x) = a/√3

où a est la demi-largeur de l’intervalle. Deux précautions : l’hypothèse d’uniformité doit être justifiée (c’est raisonnable pour un arrondi d’affichage, discutable pour d’autres situations) ; et cette formule ne s’applique pas automatiquement à toutes les « résolutions » - elle suppose que la résolution est bien la source dominante du doute, ce qui est faux si le bruit est plus grand que le pas d’affichage (Partie 6).

12.3 Exemple avec une règle

Pour une règle graduée au millimètre, la lecture d’une position se fait à une demi-graduation près environ : a = 0,5 mm, donc u_B ≈ 0,5/√3 ≈ 0,3 mm. L’intérêt pédagogique de l’exemple analogique est de rendre visible ce que le numérique cache : on voit la graduation qui limite la lecture.

12.4 Exemples numériques

La même logique s’applique aux instruments numériques :

Fréquence d’image d’une vidéo à 30 images/s : un événement (départ, impact) est daté à une demi-image près, a = 1/60 s, donc u_B = 1/(60√3) ≈ 0,010 s.
Pas d’un chronomètre au centième : a = 0,005 s, u_B ≈ 0,003 s.
Résolution d’une distance mesurée sur un plan ou une carte au pas de 1 m : a = 0,5 m, u_B ≈ 0,3 m.
Pas d’affichage d’un capteur, uniquement si le signal est plus stable que ce pas - sinon c’est le bruit qui domine et l’évaluation de type A s’impose.

Partie 13 - Combiner des incertitudes simples

Cette partie relève principalement de la terminale et de la première année d’université.

13.1 Plusieurs contributions

Une mesure réelle dépend rarement d’une seule source de doute. La mesure d’une vitesse, par exemple, cumule : la répétabilité du chronométrage (type A), la résolution temporelle (type B), l’étalonnage éventuel, l’incertitude sur la distance, celle sur la durée.

13.2 Combinaison quadratique

Pour des contributions indépendantes, déjà exprimées chacune comme une incertitude-type dans la même unité, l’incertitude-type combinée est :

u_c = √(u₁² + u₂² + …)

Cette addition « en quadrature » suppose l’indépendance des sources : deux contributions issues de la même cause ne se combinent pas ainsi. Conséquence pratique utile : la contribution la plus grande domine rapidement - si u₁ = 3 u₂, supprimer entièrement u₂ ne changerait presque rien. L’analyse d’incertitude sert d’abord à identifier la source dominante, celle sur laquelle il vaut la peine de travailler.

13.3 Grandeur calculée

Pour une grandeur calculée, on utilise au lycée une formule fournie, adaptée au cas étudié. Exemple type, la vitesse v = d/t :

u(v)/v = √((u(d)/d)² + (u(t)/t)²)

Application numérique : d = (2,00 ± 0,01) m et t = (0,58 ± 0,02) s donnent v = 3,45 m·s⁻¹, avec u(d)/d = 0,5 % et u(t)/t = 3,45 %, d’où u(v)/v = √(0,005² + 0,0345²) ≈ 3,5 % et u(v) ≈ 0,12 m·s⁻¹ : v = (3,45 ± 0,12) m·s⁻¹. On note au passage que la durée domine très largement l’incertitude - c’est elle qu’il faudrait mieux mesurer.

Pour aller plus loin - première année d’université. La formule ci-dessus est un cas particulier de la propagation des incertitudes pour les produits et quotients : les incertitudes relatives s’ajoutent en quadrature. Le cas général, fondé sur les dérivées partielles de la fonction reliant les grandeurs, est étudié en première année d’université ; il peut aussi être exploré numériquement par simulation, en tirant aléatoirement les grandeurs d’entrée dans leurs intervalles d’incertitude.

13.4 Incertitude relative

L’incertitude relative rapporte l’incertitude à la valeur mesurée :

u_r(x) = u(x)/|x|

souvent exprimée en pourcentage. Elle permet de comparer la qualité de mesures portant sur des grandeurs de valeurs très différentes : une incertitude de 1 mm est excellente sur une distance de 10 m (0,01 %) et médiocre sur une épaisseur de 5 mm (20 %).

Partie 14 - Présenter correctement un résultat

14.1 Unité

Une valeur sans unité est généralement incomplète : « 9,81 » ne veut rien dire, « 9,81 m·s⁻² » est une mesure. L’unité fait partie du résultat, dans le texte comme dans les tableaux et sur les axes des graphiques (les tableaux FizziQ permettent d’ailleurs d’attacher l’unité au nom de chaque colonne).

14.2 Chiffres significatifs

On ne recopie pas automatiquement toutes les décimales affichées : on conserve les chiffres que la mesure justifie, c’est-à-dire ceux qui restent stables au niveau de l’incertitude. Les décimales qui fluctuent librement sous le bruit (Partie 6) ne sont pas significatives.

14.3 Arrondi

Règle pratique : l’incertitude s’exprime avec un ou deux chiffres significatifs, et la valeur mesurée s’arrondit au même rang décimal que l’incertitude. À éviter :

g = (9,813742 ± 0,057381) m · s⁻²

À préférer :

g = (9,81 ± 0,06) m · s⁻²

Et il faut toujours préciser ce que représente la valeur placée après le signe ± : dans ce guide, sauf mention contraire, c’est une incertitude-type (un écart-type de doute), pas un intervalle garanti ni un intervalle de confiance à 95 % (voir Partie 16).

14.4 Graphiques

Un graphique de résultat comporte : un titre ; des axes nommés ; les unités ; les points expérimentaux visibles (pas seulement une courbe lissée) ; des barres d’incertitude lorsque c’est pertinent ; et une distinction claire entre les données, le modèle théorique et l’ajustement calculé (FizziQ Web affiche par exemple l’équation de la courbe d’ajustement à côté des points expérimentaux - les deux ne doivent pas être confondus dans le compte rendu).

Partie 15 - Comparer une mesure à une valeur de référence

15.1 Comparaison intuitive

En seconde et en première, la comparaison reste qualitative : on met en regard l’écart observé entre la mesure et la référence, la dispersion de la série, l’incertitude estimée, et les conditions de l’expérience. Si l’écart est du même ordre que l’incertitude, rien ne permet d’affirmer un désaccord ; s’il est beaucoup plus grand, il faut chercher une explication.

15.2 Écart normalisé

En terminale, la comparaison devient quantitative avec l’écart normalisé (souvent noté z) :

z = (|x_mes - x_ref|)/u(x)

où x_mes est la valeur mesurée, x_ref la valeur de référence et u(x) l’incertitude-type associée au résultat de mesure. L’écart normalisé compte « combien d’incertitudes-types » séparent la mesure de la référence. Convention pédagogique d’interprétation : si z < 2, le résultat est considéré comme compatible avec la référence ; si z ≥ 2, le résultat mérite un examen plus attentif (et un désaccord net s’installe au-delà de 3). Lorsque la valeur de référence possède elle-même une incertitude non négligeable u(x_ref), on remplace u(x) au dénominateur par √(u(x)² + u(x_ref)²).

Exemple : une mesure de g par chute libre donne g = (9,74 ± 0,05) m·s⁻², à comparer à la référence locale 9,81 m·s⁻². z = |9,74 - 9,81|/0,05 = 1,4 < 2 : le résultat est compatible avec la référence.

À noter : c’est cet outil - et non l’« écart relatif » en pourcentage - qui sert à valider une mesure, car seul l’écart normalisé tient compte de l’incertitude.

15.3 Une incompatibilité n’est pas nécessairement un échec

Un écart normalisé élevé est une information, pas une sanction. Il peut révéler : une incertitude sous-estimée (des sources oubliées) ; un biais (étalonnage, zéro, alignement) ; un protocole insuffisant ; un capteur saturé ; une valeur aberrante qui a contaminé la moyenne ; un modèle physique incomplet (frottements négligés à tort) ; ou une véritable différence expérimentale. La démarche scientifique commence précisément là : chercher laquelle de ces explications tient.

Partie 16 - Incertitude de mesure et intervalle de confiance

16.1 Incertitude-type

L’incertitude-type u(x) caractérise le doute associé à une valeur mesurée, exprimé sous la forme d’un écart-type. L’écriture :

x ± u(x)

signifie « valeur x, avec un doute caractérisé par u(x) ». Elle ne doit pas être automatiquement présentée comme un intervalle de confiance à 95 % : l’intervalle [x - u, x + u] n’a pas, en général, une « probabilité de 95 % » - ni d’ailleurs de probabilité simple sans hypothèses supplémentaires.

16.2 Intervalle de confiance

L’intervalle de confiance appartient au domaine de l’inférence statistique : il sert par exemple à estimer la moyenne d’un processus de mesure à partir d’un échantillon de n observations.

Pour aller plus loin - première année d’université. Sous des hypothèses adaptées (observations indépendantes issues d’un même processus à peu près gaussien), un intervalle de confiance bilatéral à 95 % pour la moyenne du processus s’écrit :

x̄ ± t₍ₙ₋₁ ; 0,975₎ × s/√n

où x̄ est la moyenne de l’échantillon, s son écart-type expérimental, n le nombre d’observations, et t₍ₙ₋₁ ; 0,975₎ le coefficient de Student, qui dépend de n (il vaut environ 2,26 pour n = 10 et se rapproche de 1,96 quand n devient grand). Cette formule n’est pas exigible au lycée.

16.3 Interprétation correcte

Le niveau de confiance de 95 % caractérise la procédure de construction de l’intervalle, pas un intervalle particulier : si l’on répétait un grand nombre de fois l’échantillonnage et la construction, environ 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient le paramètre recherché. Il faut éviter la formulation simpliste « il y a 95 % de chances que la valeur vraie se trouve dans cet intervalle » : une fois l’intervalle calculé, la valeur du paramètre s’y trouve ou ne s’y trouve pas - c’est la méthode qui réussit 95 fois sur 100, pas l’intervalle qui « contient probablement ».

Encadré - Différence entre incertitude et intervalle de confiance. L’incertitude-type u(x) est un écart-type de doute attaché à un résultat de mesure ; x ± u(x) n’est pas un intervalle à 95 %. L’intervalle de confiance est un outil d’inférence statistique construit à partir d’un échantillon, avec un niveau de confiance choisi, qui caractérise la fiabilité de la procédure d’estimation. Les deux notions se rejoignent dans les cas simples, mais ne sont pas interchangeables.

16.4 Distinctions obligatoires

L’intervalle de confiance ne doit être confondu avec aucune des notions suivantes : la plage de mesure du capteur (Partie 8) ; un intervalle de tolérance (spécification de fabrication) ; la résolution (Partie 6) ; l’intervalle x ± u(x) (incertitude-type) ; une erreur maximale garantie ; une incertitude élargie (incertitude-type multipliée par un facteur d’élargissement, notion mentionnée ici sans en faire un outil central) ; ni l’étendue des observations (Partie 3).

16.5 Activité de simulation

En fin de lycée ou en première année universitaire : (1) réaliser - ou simuler en Python, par exemple dans l’interpréteur intégré de FizziQ Web - plusieurs petits échantillons de mesures du même processus ; (2) calculer la moyenne de chaque échantillon ; (3) construire pour chacun un intervalle de confiance ; (4) constater que les intervalles diffèrent d’un échantillon à l’autre ; (5) examiner la proportion d’intervalles contenant la valeur de référence, et la comparer au niveau de confiance choisi. Cette activité rend concrète l’interprétation fréquentiste du 16.3.

Partie 17 - Les capteurs comme études de cas

Plutôt qu’un catalogue, quatre familles d’expériences qui illustrent chacune un bouquet de notions.

17.1 L’accéléromètre

Le capteur idéal pour débuter : toujours disponible, rapide, et doté d’une référence naturelle (g). Il illustre : la variabilité et le bruit (capteur au repos) ; la résolution effective (décimales fluctuantes) ; le biais et l’étalonnage (orientations +g / -g / horizontal, Partie 10.5) ; la fréquence d’échantillonnage (chocs et vibrations, Partie 7) ; la saturation (secousses intenses) ; et la comparaison entre appareils (Partie 9). Pour comprendre ce que mesure physiquement ce capteur, voir le guide Accéléromètre et gyroscope du smartphone, l’article Comment fonctionne l’accéléromètre de mon smartphone ? et la distinction entre accélération linéaire et absolue.

17.2 Le microphone et le sonomètre

Ils illustrent : la différence entre mesure absolue (incertaine sans étalonnage) et mesure relative (robuste) ; l’étalonnage et son domaine de validité (Partie 10.6) ; l’influence de la fréquence (la réponse du microphone n’est pas uniforme) ; l’orientation et la position ; les traitements logiciels (gain automatique, réduction de bruit) ; la saturation ; et les limites d’usage (une mesure au smartphone n’est jamais une mesure réglementaire). Le guide complet consacré au son développe l’ensemble de ces points.

17.3 Le magnétomètre

Il illustre de façon spectaculaire : l’influence de l’environnement (structures métalliques, aimants, électronique) ; la reproductibilité (la même mesure change d’une salle à l’autre) ; le biais et sa correction (la calibration par rotations en 8 proposée dans FizziQ) ; l’effet de l’orientation ; et la comparaison entre smartphones. Les modèles de correction tridimensionnelle complets relèvent du niveau professionnel et sortent du cadre de ce guide.

17.4 L’analyse vidéo

L’analyse cinématique vidéo de FizziQ est un condensé de métrologie : l’étalonnage spatial (la conversion pixels-mètres via un objet de référence, dont l’incertitude se propage à toutes les positions) ; la parallaxe et la perspective (filmer perpendiculairement au plan du mouvement) ; l’incertitude de pointage (quelques pixels par clic) ; la fréquence d’image et la résolution temporelle (Partie 12.4) ; l’incertitude sur une position, puis sur une vitesse calculée par différences ; et l’amplification du bruit lors du calcul de l’accélération (dériver deux fois amplifie fortement les fluctuations de pointage - c’est pourquoi FizziQ propose un ajustement quadratique qui lisse ce calcul). La mise en oeuvre pas à pas est détaillée dans l’article utiliser la chronophotographie en TP de physique.

17.5 Les autres capteurs en un tableau

Capteur	Grandeur obtenue	Limitation principale	Expérience simple	Relative ou absolue	Usage adapté	Précaution principale
GPS	Position, altitude, vitesse	Précision de position variable (souvent plusieurs mètres), cadence lente	Tracer un trajet et comparer à la carte	Plutôt relative (variations)	Distances et vitesses sur de longs trajets	Extérieur, ciel dégagé, attendre la stabilisation
Baromètre	Pression atmosphérique	Absent de certains appareils ; dérive avec la météo	Variation de pression entre étages	Relative (différences)	Dénivelés, tendances	Comparer des variations, pas des valeurs isolées
Gyroscope	Vitesse de rotation	Biais de zéro ; dérive de l’angle intégré ; plage limitée	Rotation d’une chaise de bureau	Absolue à court terme	Mouvements de rotation	Éviter les rotations trop rapides (saturation)
Luxmètre	Éclairement	Réponse dépendant du modèle et de l’angle	Loi en 1/d² avec une lampe	Plutôt relative	Comparaisons d’éclairement	Orientation constante du capteur
Caméra (vidéo)	Positions datées	Fréquence d’image, perspective	Chute libre filmée	Absolue après étalonnage spatial	Cinématique	Étalonner l’échelle, filmer de face
Colorimètre	Composantes de couleur, absorbance	Sensible à l’éclairage ambiant	Suivi d’une décoloration	Relative	Comparaisons, cinétiques	Éclairage constant, fond neutre

Partie 18 - Douze activités pédagogiques avec FizziQ

Activité 1 - Toutes les décimales sont-elles significatives ?

Question : que valent les décimales affichées par un capteur ? - Niveau : seconde. - Durée : 30 min. - Matériel : un smartphone. - Outil FizziQ : accéléromètre (ou magnétomètre), enregistrement 30 s au repos. - Protocole : poser l’appareil, enregistrer, zoomer sur le graphique, lire l’amplitude des fluctuations. - Données attendues : série bruitée autour d’une valeur stable. - Traitement : étendue, choix d’un arrondi. - Notion apprise : résolution d’affichage ≠ résolution effective. - Sources d’incertitude principales : bruit du capteur, vibrations. - Résultat attendu : une ou deux décimales stables seulement. - Limites : dépend fortement du modèle. - Prolongement : comparer plusieurs modèles d’appareils.

Activité 2 - Construire une distribution de mesures

Question : comment se répartissent des mesures répétées ? - Niveau : seconde. - Durée : 1 h. - Matériel : les smartphones de la classe. - Outil : capture instantanée (le tableau des mesures se construit automatiquement) ; mise en commun par QR code ; histogramme via le mode Statistiques, le tableur ou Python. - Protocole : chaque groupe mesure la même grandeur 10 fois ; on rassemble les données de la classe. - Traitement : histogramme, moyenne, écart-type. - Notion : variabilité, description d’une série. - Résultat attendu : distribution en cloche approximative. - Limites : effets inter-appareils mélangés à la dispersion. - Prolongement : séparer les histogrammes par appareil (→ Activité 6).

Activité 3 - Dispersion ou incertitude sur la moyenne ?

Question : que gagne-t-on à mesurer plus ? - Niveau : première / terminale. - Durée : 1 h. - Matériel : un smartphone. - Outil : captures instantanées, tableur (MOYENNE, ECARTYPE). - Protocole : séries de 5, 10, 30 mesures de la même grandeur. - Traitement : calculer x̄, s et s/√n pour chaque série. - Notion : distinction s / s/√n. - Résultat attendu : s stable, s/√n décroissant. - Sources d’incertitude : dérive éventuelle pendant la longue série. - Limites : valeurs corrélées si le signal est filtré. - Prolongement : tracer u_A en fonction de n et comparer à la loi en 1/√n.

Activité 4 - Fidèle mais faux ?

Question : un résultat regroupé est-il forcément exact ? - Niveau : seconde / première. - Durée : 45 min. - Matériel : deux smartphones aux comportements différents (ou une série volontairement biaisée : téléphone légèrement incliné). - Outil : accéléromètre, tableur. - Protocole : mesurer g avec les deux configurations, comparer dispersion et écart à la référence. - Notion : justesse vs fidélité, biais. - Résultat attendu : une série fidèle mais décalée, une série dispersée mais juste en moyenne. - Limites : nécessite des appareils réellement contrastés. - Prolongement : corriger le biais (→ Activité 5).

Activité 5 - Étalonner un accéléromètre

Question : peut-on caractériser et corriger le biais d’un capteur avec la pesanteur ? - Niveau : première / terminale. - Durée : 1 h. - Matériel : un smartphone, une surface bien horizontale et un support vertical. - Outil : accéléromètre (axe par axe), tableur. - Protocole : enregistrer l’axe étudié en position +g, -g et horizontale ; calculer demi-somme (zéro) et demi-différence (échelle). - Traitement : estimation du décalage de zéro et du facteur d’échelle ; correction dans le tableur. - Notion : étalonnage, zéro, facteur d’échelle, domaine de validité. - Résultat attendu : décalages faibles mais mesurables. - Sources d’incertitude : horizontalité et verticalité réelles des positions. - Prolongement : vérifier la correction sur une nouvelle mesure.

Activité 6 - Comparer plusieurs smartphones

Question : pourquoi les appareils ne donnent-ils pas tous la même chose ? - Niveau : seconde à terminale. - Durée : 1 h. - Matériel : plusieurs smartphones. - Outil : même instrument sur tous, protocole commun écrit, mise en commun par QR code. - Protocole : chaque appareil répète la même mesure ; on compare dispersions internes et moyennes entre appareils. - Notion : répétabilité vs reproductibilité. - Résultat attendu : dispersion inter-appareils supérieure à la dispersion intra-appareil. - Limites : confusion possible avec les effets opérateur. - Prolongement : échanger les opérateurs pour isoler leur effet.

Activité 7 - Détecter une saturation

Question : comment reconnaître qu’un capteur est dépassé ? - Niveau : seconde / première. - Durée : 30 min. - Matériel : un smartphone, une source d’intensité croissante (secousses, son montant). - Outil : accéléromètre ou sonomètre, enregistrement continu. - Protocole : intensifier progressivement le phénomène, observer le plafonnement. - Notion : plage de mesure, saturation, « stable mais faux ». - Résultat attendu : courbe qui plafonne, crêtes aplaties. - Précaution : volume sonore raisonnable, protéger l’appareil. - Prolongement : comparer les plafonds de plusieurs appareils.

Activité 8 - Effet de l’échantillonnage

Question : que perd-on quand on échantillonne trop lentement ? - Niveau : première / terminale. - Durée : 45 min. - Matériel : un smartphone. - Outil : accéléromètre, réglage de la fréquence d’échantillonnage dans les Réglages de FizziQ. - Protocole : enregistrer un mouvement lent, une vibration, un choc, à deux fréquences d’acquisition différentes. - Notion : fréquence d’échantillonnage, phénomènes rapides. - Résultat attendu : le choc est tronqué ou manqué à basse fréquence. - Limites : fréquence maximale dépendant du modèle. - Prolongement : encadré Shannon-Nyquist (terminale/université).

Activité 9 - Mesurer une vitesse et son incertitude

Question : comment présenter une vitesse avec son incertitude ? - Niveau : terminale. - Durée : 1 h 30. - Matériel : un mobile (personne qui marche, balle), un décamètre, un smartphone. - Outil : chronomètre (ou chronomètre acoustique) et tableur ; ou analyse vidéo. - Protocole : mesurer d et t plusieurs fois ; évaluer u(d) (type B, mètre ruban) et u(t) (type A sur les répétitions + type B de résolution). - Traitement : v = d/t, combinaison des incertitudes relatives (formule fournie, Partie 13.3). - Notion : incertitude composée simple, source dominante. - Résultat attendu : la durée domine généralement l’incertitude. - Prolongement : améliorer le maillon faible et re-mesurer.

Activité 10 - Comparer à une valeur de référence

Question : ma mesure de g est-elle compatible avec la valeur de référence ? - Niveau : terminale. - Durée : 1 h. - Matériel : selon la méthode (chute libre filmée, pendule, accéléromètre au repos). - Outil : analyse vidéo ou accéléromètre, tableur. - Protocole : mesurer g, évaluer u(g), calculer z = |g_mes - g_ref|/u(g). - Notion : écart normalisé, compatibilité. - Résultat attendu : z < 2 si le protocole est soigné ; sinon, discussion des causes (15.3). - Limites : la conclusion dépend de la qualité de l’évaluation de u(g). - Prolongement : comparer les z de plusieurs méthodes de mesure de g.

Activité 11 - Étalonner un sonomètre

Question : peut-on rendre juste le sonomètre d’un smartphone ? - Niveau : première / terminale. - Durée : 1 h. - Matériel : un sonomètre de référence (ou un appareil pris comme référence commune), une source sonore stable. - Outil : sonomètre FizziQ et son réglage de calibration (décalage en dB). - Protocole : conditions strictement identiques (position, orientation, source, fréquence, durée) ; relever l’écart ; appliquer la correction ; vérifier à un autre niveau et une autre fréquence. - Notion : étalonnage, domaine de validité d’une correction. - Résultat attendu : correction efficace au voisinage du point d’étalonnage, moins ailleurs. - Limites : sans instrument de référence, seule une inter-comparaison relative est possible.

Activité 12 - Construire des intervalles de confiance

Question : que signifie « confiance à 95 % » ? - Niveau : fin de lycée / première année d’université. - Durée : 1 h 30. - Matériel : un smartphone ou un ordinateur. - Outil : données réelles exportées (CSV/Python) ou simulation dans l’interpréteur Python de FizziQ Web. - Protocole : constituer de nombreux petits échantillons, calculer moyenne et intervalle de Student pour chacun. - Traitement : proportion d’intervalles contenant la référence. - Notion : interprétation fréquentiste de l’intervalle de confiance. - Résultat attendu : proportion proche de 95 %. - Limites : hypothèses (indépendance, normalité approximative). - Prolongement : faire varier n et le niveau de confiance.

Partie 19 - Quand un smartphone est-il suffisant ?

19.1 Usages adaptés

Le smartphone est souvent suffisant pour : observer un phénomène ; mesurer une variation ; comparer deux situations ; déterminer un ordre de grandeur ; tester une relation physique (proportionnalité, loi en carré…) ; réaliser une expérience scolaire ; étudier la variabilité elle-même ; comparer des protocoles ; travailler sur le terrain ; et apprendre à traiter des données réelles.

19.2 Usages nécessitant un instrument spécialisé

Un instrument professionnel s’impose lorsque l’objectif est : réglementaire ; médical ; juridique ; contractuel ; lié à la sécurité ; ou lorsqu’il exige une traçabilité métrologique ; lorsque la grandeur sort de la plage du capteur ; lorsqu’elle est inférieure au bruit du smartphone ; lorsque le phénomène est trop rapide pour l’acquisition ; ou lorsque les résultats doivent être comparables entre laboratoires avec des exigences strictes.

19.3 Grille de décision

Question à se poser	Smartphone adapté	Instrument spécialisé préférable
S’agit-il de comparer deux situations ou de suivre une évolution ?	Oui, très bien adapté	-
A-t-on besoin d’une valeur absolue exacte ?	Seulement après étalonnage, avec prudence	Oui si l’exactitude absolue est l’enjeu
La grandeur est-elle dans la plage et au-dessus du bruit du capteur ?	Oui	Non → instrument dédié
Le phénomène est-il plus lent que la fréquence d’acquisition ?	Oui	Non → acquisition rapide dédiée
Le résultat a-t-il une portée réglementaire, médicale ou juridique ?	Non	Oui, obligatoirement
L’objectif est-il d’apprendre la démarche de mesure ?	Idéal	-

Le critère final est toujours le même : la qualité de la mesure est-elle suffisante pour répondre à la question scientifique posée ? Un instrument n’est pas adapté parce qu’il est numérique ou professionnel, mais parce que sa qualité répond au besoin.

Partie 20 - Erreurs et confusions fréquentes

« Six décimales affichées signifient six décimales de précision. » Faux : le format d’affichage ne détermine ni la résolution effective ni l’incertitude (Parties 6 et 14).

« Des mesures très regroupées sont forcément exactes. » Faux : elles peuvent être fidèles mais biaisées ; la fidélité ne dit rien de la justesse (Partie 4).

« Faire davantage de mesures supprime toutes les erreurs. » Faux : répéter réduit l’incertitude statistique (s/√n), mais ne réduit en rien un biais commun à toutes les mesures (Parties 5 et 11).

« Étalonner signifie seulement remettre à zéro. » Faux : la mise à zéro ne corrige qu’un décalage ; l’étalonnage établit la relation entre les indications et des valeurs de référence, éventuellement en plusieurs points (Partie 10).

« L’écart-type est l’erreur de la mesure. » Faux : l’écart-type décrit la dispersion des observations, pas l’écart à la valeur vraie (Partie 3).

« L’incertitude est la différence avec la valeur vraie. » Faux : cette différence est l’erreur, généralement inconnue ; l’incertitude est l’estimation du doute associé au résultat (Partie 5).

« x ± u(x) est un intervalle de confiance à 95 %. » Faux : sauf indication différente, u(x) est une incertitude-type, pas la demi-largeur d’un intervalle à 95 % (Partie 16).

« Une valeur stable est nécessairement fiable. » Faux : un capteur saturé ou fortement filtré peut être parfaitement stable et complètement faux (Partie 8).

« Tous les smartphones donnent les mêmes résultats. » Faux : capteurs, traitements logiciels et étalonnages diffèrent d’un modèle et d’un système à l’autre (Partie 9).

« Une donnée numérique est objective par nature. » Faux : elle dépend du capteur, du logiciel, du protocole et du traitement - la chaîne complète doit être comprise pour interpréter le nombre (Partie 1).

« Un smartphone ne peut pas être un instrument scientifique. » Faux : il peut être parfaitement adapté à de très nombreuses questions, à condition d’en connaître les limites - c’est précisément l’objet de ce guide (Partie 19).

Partie 21 - Questions fréquentes

Les capteurs d’un smartphone sont-ils fiables ? Ils sont suffisamment fiables pour de très nombreuses expériences scientifiques, surtout pour comparer des situations et suivre des évolutions. Leur exactitude absolue, en revanche, varie selon les modèles et n’est pas garantie sans étalonnage. La bonne question n’est pas « fiable ou pas » mais « suffisant ou non pour la question posée » (Partie 19).

Pourquoi une mesure varie-t-elle ? Parce que de nombreuses petites causes se superposent : bruit électronique, vibrations, température, environnement, geste de l’opérateur, arrondis du logiciel. Cette variabilité est universelle ; on l’étudie en répétant la mesure (Partie 2).

Que signifient les chiffres après la virgule ? Ils reflètent le format d’affichage choisi par le logiciel, pas la qualité de la mesure. Seuls sont significatifs les chiffres qui restent stables au niveau de l’incertitude ; les décimales qui fluctuent sous le bruit n’apportent aucune information (Parties 6 et 14).

Quelle est la différence entre précision et résolution ? La résolution est le plus petit pas que l’instrument peut représenter ou afficher ; la « précision » désigne selon les contextes la fidélité ou l’exactitude du résultat. Un instrument à haute résolution peut être imprécis, et inversement (Partie 6).

Quelle est la différence entre justesse et fidélité ? La fidélité décrit le regroupement des mesures répétées (faible dispersion) ; la justesse décrit l’absence de biais par rapport à une référence. Une série peut être fidèle et fausse, ou dispersée et juste en moyenne (Partie 4).

Quelle est la différence entre erreur et incertitude ? L’erreur est l’écart réel - généralement inconnu - entre le résultat et la valeur recherchée. L’incertitude est l’estimation, calculable, du doute associé au résultat (Partie 5).

À quoi sert l’écart-type ? À chiffrer la dispersion d’une série de mesures autour de sa moyenne. Il ne mesure ni l’erreur ni la justesse : deux séries de même écart-type peuvent être l’une centrée sur la référence, l’autre très décalée (Partie 3).

Pourquoi répéter une mesure ? Pour rendre la variabilité visible, détecter les valeurs aberrantes, et réduire l’incertitude statistique sur la moyenne, qui décroît comme s/√n. La répétition ne corrige toutefois aucun biais (Parties 3 et 11).

Combien de mesures faut-il réaliser ? Il n’y a pas de nombre magique : une dizaine de mesures donne déjà une bonne image de la dispersion, et l’incertitude sur la moyenne ne diminue ensuite que lentement (en 1/√n). Mieux vaut 10 mesures dans un protocole stable que 100 dans des conditions changeantes (Partie 11).

Qu’est-ce qu’une incertitude de type A ? Une incertitude-type évaluée statistiquement à partir d’une série de mesures répétées : u_A = s/√n dans les conditions appropriées (Partie 11).

Qu’est-ce qu’une incertitude de type B ? Une incertitude-type évaluée à partir d’informations non statistiques : résolution, tolérance, spécification, référence. Pour un intervalle supposé uniforme de demi-largeur a, on utilise u_B = a/√3 (Partie 12).

Comment combiner plusieurs incertitudes ? Pour des contributions indépendantes exprimées en incertitudes-types, on les additionne en quadrature : u_c = √(u₁² + u₂² + …). Pour une grandeur calculée comme v = d/t, ce sont les incertitudes relatives qui se combinent ainsi (Partie 13).

Comment étalonner un smartphone ? En comparant ses indications à une référence dans des conditions contrôlées, puis en corrigeant : réglage de l’application quand il existe (calibration du sonomètre, du magnétomètre dans FizziQ) ou correction des données dans le tableur. La correction n’est valable que dans son domaine d’étalonnage (Partie 10).

Peut-on étalonner un accéléromètre avec la pesanteur ? Oui : en orientant successivement l’axe du capteur vers le haut, vers le bas et à l’horizontale, on estime le décalage de zéro et le facteur d’échelle à partir des indications proches de +g, -g et 0 (Partie 10.5, Activité 5).

Pourquoi deux smartphones donnent-ils des résultats différents ? Parce qu’ils embarquent des capteurs différents, des étalonnages d’usine différents et des traitements logiciels différents. Ces écarts sont normaux et constituent un excellent support pour enseigner la reproductibilité (Partie 9).

Comment savoir si un capteur est saturé ? Aux signes caractéristiques : valeur qui plafonne, maximum répété à l’identique, crêtes aplaties, affichage qui n’augmente plus alors que le phénomène s’intensifie. Une valeur saturée peut être très stable et pourtant fausse (Partie 8).

Qu’est-ce que la fréquence d’échantillonnage ? Le nombre de valeurs acquises par seconde. Trop faible, elle fait manquer les pics, déforme les phénomènes rapides et peut créer de faux signaux lents (Partie 7).

Comment choisir les chiffres significatifs ? On exprime l’incertitude avec un ou deux chiffres significatifs, puis on arrondit la valeur au même rang décimal : g = (9,81 ± 0,06) m·s⁻², et non g = (9,813742 ± 0,057381) m·s⁻² (Partie 14).

Qu’est-ce qu’un intervalle de confiance ? Un intervalle construit à partir d’un échantillon selon une procédure statistique dont le niveau de confiance (par exemple 95 %) décrit le taux de réussite : sur un grand nombre de répétitions, environ 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient le paramètre recherché (Partie 16).

Quelle différence entre intervalle de confiance et incertitude de mesure ? L’incertitude-type est un écart-type de doute attaché à un résultat ; l’intervalle de confiance est un outil d’inférence statistique avec un niveau de confiance choisi. L’écriture x ± u(x) n’est pas un intervalle à 95 % (Partie 16).

Comment comparer une mesure à une valeur de référence ? Qualitativement au début du lycée (écart comparé à la dispersion), puis quantitativement en terminale avec l’écart normalisé z = |x_mes - x_ref|/u(x) : en dessous de 2, le résultat est considéré comme compatible avec la référence (Partie 15).

Quand faut-il utiliser un instrument professionnel ? Dès que l’enjeu est réglementaire, médical, juridique, contractuel ou de sécurité, ou que la mesure exige une traçabilité, une plage, une finesse ou une rapidité hors de portée du smartphone (Partie 19).

FizziQ peut-il servir à enseigner les incertitudes ? Oui : l’application donne accès aux capteurs, enregistre des séries, construit automatiquement des tableaux de mesures répétées, affiche des distributions, calcule moyennes et écarts-types dans son tableur, exporte en CSV et Python, et documente le tout dans un cahier d’expériences - l’ensemble de la chaîne dont on a besoin pour une démarche complète de mesure. Les notions enseignées restent valables avec tout autre instrument.

Conclusion

Au terme de ce parcours, quelques idées méritent d’être retenues durablement. Une mesure n’est jamais seulement un nombre : c’est une valeur, une unité, un protocole, des conditions - et un doute évalué. Les décimales affichées ne garantissent rien : la qualité d’un résultat se juge à sa variabilité, à ses biais et à son incertitude, pas à son format d’affichage. Répéter une mesure permet d’étudier la variabilité, et la moyenne ne suffit pas sans une information sur la dispersion ; un résultat fidèle peut être biaisé, et c’est l’étalonnage qui permet de caractériser ou de corriger ces biais. L’incertitude exprime le doute associé au résultat - elle n’est ni l’erreur, ni l’écart-type, ni un intervalle de confiance, lequel est un outil statistique distinct avec sa propre interprétation.

Le smartphone est un excellent outil pour apprendre tout cela, précisément parce qu’il produit rapidement des données nombreuses et imparfaites : du bruit visible, des biais réels, des saturations reproductibles, des différences entre appareils. FizziQ transforme ces données en démarche scientifique complète - mesurer, répéter, représenter, calculer, comparer, documenter. Et le critère final ne change jamais : un instrument est adapté non parce qu’il est numérique ou professionnel, mais parce que sa qualité est suffisante pour répondre à la question posée.

Une mesure fiable n’est pas celle qui affiche le plus de chiffres. C’est celle dont on comprend l’origine, la variabilité, les limites et l’incertitude.

Pour aller plus loin sur fizziq.org : le guide complet des capteurs du smartphone, le guide Faire de la physique avec un smartphone, les articles consacrés à l’accéléromètre, à l’accélération linéaire et absolue, au magnétomètre, au son et aux décibels, à la mesure de la vitesse du son et de g, ainsi que les modes d’emploi de FizziQ et FizziQ Web sur fizziq.org/documentation.

Sources et références

Vocabulaire international de métrologie (VIM, JCGM 200) pour les définitions de mesurande, justesse, fidélité et étalonnage ; Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure (GUM, JCGM 100) pour les évaluations de type A et B et la combinaison quadratique ; ressource Éduscol « Mesure et incertitudes au lycée » (physique-chimie, voie générale et technologique) pour la progression seconde-première-terminale et l’écart normalisé ; documentation FizziQ et FizziQ Web (fizziq.org/documentation) pour le fonctionnement des instruments cités.

Guide rédigé par FizziQ Labs. Dernière vérification technique : juillet 2026. Les fonctions produit décrites correspondent aux versions de FizziQ mobile et de FizziQ Web en vigueur à cette date.