Théodolite

Un théodolite est un instrument qui mesure les angles horizontaux (azimuts) et verticaux (élévations). Employé en topographie et en géodésie, il sert à déterminer hauteurs et distances par triangulation, sans accéder directement à l’objet visé.

Observer expérimentalement le théodolite

Le théodolite de FizziQ mesure un angle d’élévation grâce à l’accéléromètre, qui détecte la direction de la verticale, et un azimut grâce au magnétomètre, qui repère le nord magnétique.

Étapes :

• Ouvrir FizziQ et sélectionner l’outil Théodolite. Poser le smartphone à plat sur une table horizontale et vérifier qu’il affiche 0° d’élévation ; sinon, calibrer.
• Se placer à un endroit repéré et mesurer au décamètre la distance horizontale d qui sépare les pieds de l’observateur de la base de l’objet visé. C’est cette mesure qui limite la précision du résultat final.
• Viser le sommet de l’objet en alignant le bord du smartphone avec la ligne de visée, sans bouger les pieds, et relever l’angle d’élévation α.
• Mesurer la hauteur des yeux de l’observateur au-dessus du sol, à ajouter au résultat.
• Faire trois visées successives et prendre la moyenne : l’écart entre les mesures donne l’incertitude réelle.
• Pour un azimut, orienter le smartphone vers la cible et lire l’angle par rapport au nord, en s’éloignant de toute masse métallique et de tout appareil électrique.

Activités scientifiques sur ce thème

• Hauteur d’un arbre au théodolite : mesurer la hauteur d’un arbre inaccessible à partir d’une distance au sol et d’un angle d’élévation.
• Loi des sinus au théodolite : vérifier expérimentalement la loi des sinus dans un triangle construit sur le terrain.
• Triangulation au théodolite : déterminer la position d’un point inaccessible à partir de deux visées et d’une base connue.
• Mesurer la hauteur d’un bâtiment avec un smartphone : séquence vidéo de la Fondation La main à la pâte.

En savoir plus

Un instrument né de la géodésie

Le théodolite est un instrument de visée monté sur deux cercles gradués perpendiculaires : l’un mesure les angles horizontaux (azimuts), l’autre les angles verticaux (élévations ou sites). Sa forme moderne date du XVIᵉ siècle, mais il devient l’outil central de la géodésie au XVIIIᵉ siècle, quand Delambre et Méchain l’emploient pour mesurer l’arc du méridien qui servira à définir le mètre. Les théodolites de précision atteignent la seconde d’arc, soit 1/3600 de degré.

Ce que mesure vraiment un smartphone

Un smartphone n’a pas de lunette ni de cercle gradué : il reconstitue les deux angles à partir de ses capteurs inertiels. L’angle d’élévation vient de l’accéléromètre, qui mesure la direction du champ de pesanteur et fournit donc une référence verticale fiable au repos. L’azimut vient du magnétomètre, qui repère le champ magnétique terrestre. Cette différence d’origine explique une asymétrie importante : l’élévation est mesurée de façon très stable, alors que l’azimut est sensible aux perturbations magnétiques.

Les sources d’erreur dominantes

Contrairement à l’intuition, l’angle n’est presque jamais le facteur limitant. La première source d’erreur est la mesure de la distance horizontale au sol : un pas mal compté, un terrain en pente ou une base d’arbre mal repérée introduisent plusieurs pourcents d’écart. La deuxième est la tenue de l’appareil : une main qui tremble ou un smartphone qui n’est pas exactement dans le plan vertical de visée fausse l’angle de plusieurs degrés. La troisième, spécifique à l’azimut, est la déviation magnétique due aux structures métalliques, armatures de béton, tableaux ou ordinateurs. Enfin, la hauteur des yeux de l’observateur est souvent oubliée : elle vaut 1,5 à 1,7 m, soit une erreur systématique de 10 % sur un arbre de 15 m.

Sensibilité de la tangente

L’erreur commise sur la hauteur dépend beaucoup de l’angle de visée. Pour α proche de 45°, la fonction tangente varie lentement et une erreur de 1° sur l’angle produit environ 3 % d’erreur sur la hauteur. Pour α = 70°, la même erreur de 1° en produit environ 5,4 %. Il faut donc s’éloigner de l’objet jusqu’à viser sous un angle compris entre 30° et 50°, plutôt que de se placer au pied de l’objet.

Ordres de grandeur

Résolution angulaire d’un smartphone en élévation : environ 1°. En azimut : 2 à 5° selon les perturbations. Théodolite optique de chantier : 10 secondes d’arc. Théodolite géodésique de précision : 0,5 seconde d’arc. Angle de visée recommandé en classe : 30 à 50°. Précision typique atteinte sur la hauteur d’un arbre de 15 m : 1 à 2 m, soit environ 10 %.

Formule

Pour un objet vu sous un angle d’élévation α depuis une distance horizontale d :

h = d × tan(α) + h_œil

où :

• h : hauteur totale de l’objet (m)
• d : distance horizontale entre l’observateur et le pied de l’objet (m)
• α : angle d’élévation mesuré au théodolite (°)
• h_œil : hauteur des yeux de l’observateur au-dessus du sol (m)

Si le pied de l’objet est inaccessible, deux visées depuis deux points alignés distants de b donnent :

h = b / (1/tan(α₂) − 1/tan(α₁))

où α₁ et α₂ sont les angles d’élévation mesurés depuis le point le plus éloigné et le plus proche.

La propagation de l’incertitude sur l’angle s’écrit :

Δh / h ≈ Δα / (sin(α) × cos(α))

avec Δα exprimé en radians. Cette expression est minimale pour α = 45°.

Exemples d’application

• Un élève à 20 m d’un arbre vise son sommet sous 35°. La hauteur vaut 20 × tan(35°) + 1,6 = 14,0 + 1,6 = 15,6 m.

• À 50 m d’un immeuble vu sous 42°, la hauteur atteint 50 × tan(42°) + 1,6 = 45,0 + 1,6 = 46,6 m, soit environ quinze étages.

• Une erreur de 1 m sur une distance de 20 m se traduit directement par 5 % d’erreur sur la hauteur : mesurer la distance au décamètre plutôt qu’en comptant ses pas change tout.

• En topographie, le théodolite associé à un distancemètre laser forme une station totale, qui donne simultanément angles et distances et calcule les coordonnées du point visé.

• Les astronomes utilisent le même principe sous le nom de monture altazimutale : hauteur et azimut suffisent à pointer un astre.

• En navigation, le sextant est un cousin du théodolite : il mesure la hauteur d’un astre au-dessus de l’horizon pour en déduire la latitude.

FAQ

Q : Faut-il calibrer le théodolite du smartphone avant de mesurer ? R : Oui pour l’azimut : il faut décrire un huit avec le smartphone pour recalibrer le magnétomètre. Pour l’élévation, il suffit de vérifier que l’appareil posé sur une table horizontale affiche bien 0°.

Q : Pourquoi ma mesure de hauteur d’arbre est-elle toujours trop faible ? R : Presque toujours parce que la hauteur des yeux a été oubliée. La formule d × tan(α) donne la hauteur au-dessus du niveau des yeux, pas au-dessus du sol : il faut ajouter 1,5 à 1,7 m.

Q : Peut-on mesurer un objet dont le pied est inaccessible, comme une falaise de l’autre côté d’une rivière ? R : Oui, en faisant deux visées depuis deux points alignés avec l’objet et séparés d’une base b mesurée. On élimine ainsi la distance inconnue, au prix d’une incertitude plus grande.

Q : Pourquoi l’azimut est-il moins fiable que l’élévation ? R : Parce que les deux angles ne viennent pas du même capteur. L’élévation s’appuie sur la pesanteur, qui est stable et partout la même. L’azimut s’appuie sur le champ magnétique terrestre, très faible et facilement perturbé par le métal environnant.

Q : À quelle distance faut-il se placer de l’objet ? R : À une distance comparable à la hauteur de l’objet, pour viser sous un angle de 30 à 50°. Trop près, l’angle approche 80° et la tangente amplifie fortement la moindre erreur de visée.

Concepts liés

Triangulation - Inclinomètre - Accéléromètre - Magnétomètre - Orientation - Azimut - Angle d’élévation - Loi des sinus - Géodésie - Boussole