Loi des sinus au théodolite
Utiliser la loi des sinus pour mesurer les longueurs d’un triangle
Description détaillée
En utilisant le théodolite, les élèves utilisent la loi des sinus pour mesurer les longueurs d'un triangle dans la cour de récréation. Cette mise en pratique permet une acquisition rapide et expérimentale d'un concept qui est souvent abstrait, et il peut être fait indifféremment avec une tablette ou un smartphone. FizziQ met à disposition un théodolite numérique intégré au smartphone pour mesurer les azimuts et un cahier d'expérience pour enregistrer puis partager les résultats avec l'enseignant.
Objectifs pédagogiques
- Comprendre l’utilisation pratique de la loi des sinus dans un triangle.
- Mesurer des angles à l’aide d’un théodolite numérique.
- Calculer des distances à partir de mesures indirectes.
- Relier un modèle mathématique à une situation réelle de mesure.
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Théodolite
Capteurs
- Magnétomètre
- Gyroscope
Fonctionnalités FizziQ
- Cahier d'expérience — Enregistrement des azimuts mesurés à chaque sommet du triangle et partage des résultats avec le professeur.
Matériel nécessaire
- Smartphone avec l'application FizziQ (théodolite numérique)
- Un espace ouvert avec trois points de référence visibles
- Un mètre ruban ou un moyen de mesurer une distance
- Matériel de dessin (papier, règle, rapporteur)
- Cahier d'expérience FizziQ
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil de mesure d'orientation comparable.
Protocole expérimental
Dans la cour de récréation, identifie trois endroits facilement identifiables et relativement éloignés les uns des autres (des arbres, un poteau, des cages de but, l’entrée de la cour, …)
Place-toi à un de ces points et mesure l’azimut (dans l’outil théodolite) entre ce point et les 2 autres points ; sauve ces 2 observations dans ton cahier
Refais les mêmes mesures pour chacun des 2 autres points et enregistre tes résultats
Mesure avec tes pas (ou un mètre) une des trois distances du triangle et note le résultat
Sur une feuille de papier, trace un schéma correspondant au triangle que tu as choisi ; reporte les angles pour chaque sommet comme la différence entre les 2 mesures prises
Applique la loi des sinus et complète ton schéma avec les distances et les angles calculés ; prends ton schéma en photos
Note tes résultats et les photos correspondantes dans ton cahier de résultats et partage-le avec ton professeur
Résultats attendus
Les angles mesurés entre les trois points permettent de reconstruire un triangle représentatif de la situation réelle.
En utilisant la loi des sinus, il devient possible de calculer les longueurs des côtés non mesurés directement.
Les longueurs calculées sont proches des distances réelles, avec un écart possible dû aux erreurs de mesure des angles ou de la distance initiale.
Cette expérience montre qu’il est possible de déterminer des distances indirectement à partir d’angles mesurés.
Questions scientifiques possibles
- Comment peut-on déterminer une distance sans la mesurer directement ?
- Pourquoi la précision des angles est-elle essentielle dans la triangulation ?
- Comment la loi des sinus permet-elle de calculer les côtés d’un triangle ?
- Quelles sont les sources d’erreur possibles lors des mesures d’azimut ?
Explications scientifiques
La loi des sinus est un théorème fondamental de trigonométrie qui établit que dans tout triangle, les rapports entre les longueurs des côtés et les sinus des angles opposés sont égaux: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), où a, b, c sont les longueurs des côtés et A, B, C les angles opposés respectivement. Cette relation permet de déterminer les dimensions d'un triangle lorsqu'on connaît certains de ses éléments, notamment dans des situations où certaines mesures directes sont impossibles. Le théodolite numérique de FizziQ utilise les capteurs d'orientation du smartphone (gyroscope et magnétomètre) pour mesurer l'azimut, c'est-à-dire l'angle horizontal entre une direction et le nord magnétique. Pour chaque sommet du triangle, l'élève mesure l'azimut vers les deux autres points, puis calcule l'angle au sommet par différence de ces deux valeurs. Une fois les trois angles déterminés, il suffit de mesurer directement l'un des côtés pour pouvoir calculer les deux autres en appliquant la loi des sinus: si l'on connaît le côté a et tous les angles, alors b = a×sin(B)/sin(A) et c = a×sin(C)/sin(A). Cette technique de triangulation est historiquement la base de la cartographie et de la géodésie. Avant l'avènement du GPS, c'était la méthode principale pour établir des cartes précises. Elle reste fondamentale pour comprendre les principes de localisation. Les sources d'erreur incluent la précision limitée du théodolite numérique (±1 à 2° sur chaque azimut). Comme chaque angle du triangle est obtenu par différence de deux azimuts, ces incertitudes s'additionnent : l'angle au sommet n'est connu qu'à environ ±2 à ±4° près. Sur un petit triangle (une cour de récréation), cette incertitude se répercute fortement sur les longueurs calculées ; il est donc conseillé de choisir des points bien éloignés les uns des autres pour agrandir le triangle et réduire l'erreur relative. S'ajoutent l'imprécision de la mesure directe du côté de référence et les arrondis de calcul. Cette activité illustre parfaitement l'utilité pratique de la trigonométrie dans la résolution de problèmes concrets.
Extensions possibles
- Réaliser la triangulation sur un terrain plus grand pour tester l’influence des distances.
- Comparer les distances calculées avec des mesures directes au mètre ruban.
- Réaliser un schéma numérique du triangle et vérifier les résultats avec un logiciel de géométrie.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la trigonométrie ?
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles. Cette relation permet de déterminer les dimensions d'un triangle lorsqu'on connaît certains de ses éléments, notamment dans des situations où certaines mesures directes sont impossibles.
Quels capteurs de FizziQ sont utilisés dans cette activité ?
L'activité repose sur le théodolite numérique de FizziQ, qui combine le magnétomètre (boussole) et les capteurs d'orientation du smartphone pour mesurer un azimut, c'est-à-dire un angle horizontal par rapport au nord magnétique. Aucune autre mesure n'est nécessaire : les longueurs se calculent ensuite par la loi des sinus à partir d'un seul côté mesuré au sol.
Quelles sont les principales sources d'erreur ou limites de cette expérience ?
Surtout la mesure des angles : chaque azimut est connu à ±1 à 2° près, et comme l'angle au sommet est une différence de deux azimuts, l'incertitude double (±2 à 4°). Choisir des points éloignés agrandit le triangle et réduit l'impact de cette erreur. S'y ajoutent l'imprécision sur le côté mesuré au sol, les arrondis de calcul, et surtout la perturbation du magnétomètre par les masses métalliques proches : ne pas effectuer les visées en se tenant contre un poteau, une cage de but ou une structure métallique, et s'éloigner de quelques mètres de tout objet ferreux.
Prêt à commencer ?
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