Triangulation

La triangulation détermine la position d’un point inaccessible en mesurant les angles sous lesquels on le vise depuis les deux extrémités d’une base de longueur connue. La loi des sinus donne ensuite les distances cherchées.

Observer expérimentalement la triangulation

Le théodolite de FizziQ mesure les angles nécessaires à une triangulation : l’élévation à partir de l’accéléromètre, l’azimut à partir du magnétomètre. Il ne reste qu’à mesurer une base au sol.

Étapes :

• Choisir une cible inaccessible bien visible : un clocher, un pylône, un arbre de l’autre côté d’une rivière.
• Matérialiser une base AB sur le terrain, de longueur comparable à la distance visée, et la mesurer au décamètre. C’est la mesure la plus critique de toute l’expérience.
• Depuis le point A, ouvrir l’outil Théodolite et relever l’azimut de la cible C, puis l’azimut du point B. La différence donne l’angle  du triangle.
• Répéter l’opération depuis le point B pour obtenir l’angle B̂.
• Calculer Ĉ = 180° − Â − B̂, puis appliquer la loi des sinus pour obtenir les distances AC et BC.
• Vérifier le résultat par une seconde méthode, par exemple une carte ou une mesure directe quand elle est possible, et comparer les écarts.

Activités scientifiques sur ce thème

• Triangulation au théodolite - déterminer la distance d’un point inaccessible à partir de deux visées et d’une base mesurée.
• Loi des sinus au théodolite - vérifier expérimentalement la loi des sinus sur un triangle construit sur le terrain.
• Hauteur d’un arbre au théodolite - cas le plus simple de triangulation, dans un triangle rectangle vertical.

En savoir plus

Les premières utilisations de la triangulation remontent à l’Antiquité, avec des exemples notables en Égypte et en Grèce. Cependant, l’approche a été largement développée et perfectionnée au fil du temps. C’est le mathématicien néerlandais Willebrord Snell qui, au début du XVIIᵉ siècle, formalise la triangulation comme méthode géodésique en mesurant un arc de méridien aux Pays-Bas par une chaîne de triangles.

La triangulation moderne a été développée au 18e siècle en France par des géodésiens tels que César-François Cassini de Thury et Pierre Méchain, notamment avec la mesure de la longueur du méridien terrestre, une ligne imaginaire du pôle nord au pôle sud. Le projet avait pour objectif de mesurer un arc du méridien terrestre pour établir une unité de mesure universelle, le mètre. Les Cassini avaient déjà effectué des mesures préliminaires du méridien entre Paris et Dunkerque. Cependant, Méchain rejoignit le projet en 1792 pour mesurer la portion méridionale de l’arc, de Rodez à Barcelone. Les géodésiens se heurtèrent à une multitude de défis, notamment des conditions météorologiques défavorables, des problèmes d’alignement des instruments, des controverses avec d’autres géodésiens et même des erreurs de calcul. La triangulation, une méthode essentielle utilisée pour mesurer des distances et des angles entre les points, était cruciale mais complexe. Néanmoins, malgré ces difficultés, Méchain réussit à achever une grande partie de l’arc méridien, contribuant ainsi de manière significative à la méridienne de France. Ce projet d’envergure posa les bases du système métrique moderne, qui est toujours en usage à l’échelle internationale aujourd’hui.

Une mesure de triangulation permet la détermination des distances entre des points inaccessibles à l’aide d’angles mesurés et des longueurs de base connues.

Pour réaliser une mesure de triangulation en utilisant la loi des sinus on utilisera les étapes suivantes :

• Choix des points de triangulation : Sélectionnez soigneusement les points de triangulation, en vous assurant qu’ils sont visibles depuis votre point de mesure principal (station totale) et qu’ils forment un triangle avec le point que vous cherchez à mesurer.
• Installation de l’équipement : Installez votre équipement de mesure, comme une station totale, à un point de référence connu (votre station de mesure principale) et alignez-le avec les points de triangulation.
• Mesure des angles : Utilisez l’équipement pour mesurer les angles entre les lignes de visée de la station totale aux points de triangulation. Vous obtenez ainsi les mesures des angles ∠A, ∠B, et ∠C du triangle.
• Mesure de la base : Mesurez la longueur de la base (BC dans l’exemple ci-dessous) entre deux des points de triangulation à l’aide d’un télémètre laser ou d’une mesureur de distance si la base n’est pas connue.
• Calcul des longueurs : Utilisez la loi des sinus pour calculer les longueurs des côtés inconnus du triangle en utilisant les angles mesurés et la longueur de base connue :a/sin⁡(A)=b/sin⁡(B)=c/sin⁡(C)Par exemple, si vous avez mesuré ∠A et ∠B, et que vous connaissez la longueur de la base BC, vous pouvez utiliser la loi des sinus pour calculer la longueur AC (ou AB, ou BC, selon ce que vous cherchez à mesurer).
• Répétition : Répétez ce processus pour chaque point que vous souhaitez mesurer.
• Calcul final : Une fois que vous avez mesuré tous les triangles nécessaires, utilisez les longueurs obtenues pour calculer la distance finale entre votre station de mesure principale et le point que vous cherchez à mesurer.
• Correction : N’oubliez pas de prendre en compte les corrections nécessaires, telles que la correction de la réfraction atmosphérique, pour obtenir des résultats précis.

Histoire

Une des applications les plus connues de la triangulation est le calcul de la longueur du méridien par Pierre Méchain et Jean-Baptiste Joseph Delambre. Ces deux scientifiques français ont été missionés en 1792 par l’Académie des Sciences mesurer la longueur du méridien, c’est-à-dire la distance entre le pôle Nord et le pôle Sud à travers l’Europe. Pour ce faire, ils ont utilisé la triangulation pour mesurer les angles entre des points situés à des distances connues, puis ont utilisé ces angles pour déterminer la distance entre ces points. Méchain a effectué ses mesures en France et en Espagne, tandis que Delambre a effectué des mesures en France. Les deux scientifiques ont conclu que le méridien était plus long qu’on ne le pensait auparavant, ce qui a permis de déterminer la forme et la dimension de la Terre avec plus de précision.

Triangulation et trilatération : deux méthodes à ne pas confondre

La triangulation détermine une position à partir d’angles mesurés depuis les extrémités d’une base connue. La trilatération, elle, utilise uniquement des distances. La distinction est loin d’être académique : le GPS est un système de trilatération, pas de triangulation, contrairement à ce qu’on lit souvent. Le récepteur mesure des temps de propagation, donc des distances aux satellites, et jamais d’angles. Historiquement, la triangulation s’est imposée parce que mesurer un angle avec un théodolite était bien plus facile que mesurer une longue distance ; l’arrivée des télémètres laser et des horloges atomiques a inversé ce rapport.

Pourquoi une chaîne de triangles

On ne triangule presque jamais avec un seul triangle. Les géodésiens couvraient le territoire d’un réseau de triangles adjacents, chacun s’appuyant sur un côté du précédent. Une seule base était mesurée physiquement au sol, avec un soin extrême, et toutes les autres longueurs en découlaient par le calcul. La base de Melun, mesurée par Delambre en 1798 sur environ 6 km à l’aide de règles de platine, a ainsi servi de référence à l’ensemble de la méridienne de France.

La qualité du triangle conditionne la précision

Un triangle très aplati, dont un angle est proche de 0° ou de 180°, donne de mauvais résultats : une petite erreur angulaire y produit une grande erreur de position. C’est le même phénomène que la dilution de précision en GPS. La règle pratique est de choisir des triangles dont tous les angles sont compris entre 30° et 120°, donc de prendre une base de longueur comparable à la distance à mesurer. Une base courte face à une cible lointaine est la principale erreur de conception d’expérience.

Les sources d’erreur en classe

Deux dominent. La mesure de la base au sol d’abord : une base de 20 m relevée au pas, sur un terrain irrégulier ou en pente, se trompe facilement de 1 m, soit 5 % qui se reportent intégralement sur le résultat. La tenue de l’appareil ensuite : un smartphone tenu à main levée, pas exactement horizontal ou pas exactement aligné sur la ligne de visée, introduit plusieurs degrés d’erreur. S’ajoute pour l’azimut la sensibilité du magnétomètre au métal : rester loin des grillages, des voitures et des armatures de béton.

Ordres de grandeur

Erreur angulaire d’un smartphone en azimut : 2 à 5°. Précision typique d’une triangulation scolaire sur 100 m : 5 à 15 %. Théodolite de chantier : 10 secondes d’arc. Côté typique des triangles de la méridienne de France : 30 à 40 km. Base de Melun mesurée en 1798 : environ 6 km, avec une incertitude estimée à quelques centimètres. Parallaxe stellaire de Proxima du Centaure : 0,77 seconde d’arc, obtenue par triangulation sur une base égale au diamètre de l’orbite terrestre.

Formule

Dans un triangle ABC, la loi des sinus relie chaque côté au sinus de l’angle opposé :

a / sin(Â) = b / sin(B̂) = c / sin(Ĉ)

où :

• a, b, c : longueurs des côtés opposés respectivement aux sommets A, B, C (m)
• Â, B̂, Ĉ : angles aux sommets (°), avec  + B̂ + Ĉ = 180°

En pratique, connaissant la base c = AB et les deux angles  et B̂ mesurés au théodolite, la distance du point A à la cible C vaut :

b = AC = c × sin(B̂) / sin(Ĉ) avec Ĉ = 180° − Â − B̂

Dans le cas particulier d’un triangle rectangle, mesure d’une hauteur depuis une distance horizontale d :

h = d × tan(α)

où :

• h : hauteur de l’objet au-dessus du niveau de visée (m)
• d : distance horizontale à l’objet (m)
• α : angle d’élévation (°)

Quand deux distances et l’angle qu’elles forment sont connus, la loi des cosinus donne le troisième côté :

a² = b² + c² − 2bc × cos(Â)

Exemples d’application

• Base AB de 50 m, angles mesurés  = 68° et B̂ = 74°. Alors Ĉ = 38°, et AC = 50 × sin(74°) / sin(38°) = 50 × 0,961 / 0,616 = 78 m.

• Mesure d’un arbre : à 20 m de son pied, sommet visé sous 35°. Hauteur au-dessus des yeux = 20 × tan(35°) = 14,0 m, à laquelle on ajoute 1,6 m de hauteur d’œil, soit 15,6 m.

• La méridienne de France mesurée par Delambre et Méchain entre 1792 et 1799 a fourni la longueur du quart de méridien terrestre, dont le dix-millionième définit le mètre.

• Les astronomes mesurent la distance des étoiles proches par parallaxe : ils visent la même étoile à six mois d’intervalle, utilisant le diamètre de l’orbite terrestre (300 millions de km) comme base de triangulation.

• La localisation d’un épicentre de séisme combine les deux approches : les distances déduites du décalage entre ondes P et S relèvent de la trilatération, tandis que les réseaux d’antennes directionnelles trianguent la direction d’arrivée.

• Un mât d’antenne, un pylône ou une cheminée d’usine se mesurent en classe par triangulation, sans jamais s’en approcher.

FAQ

Q : Le GPS fonctionne-t-il par triangulation ? R : Non, par trilatération. Le récepteur ne mesure aucun angle : il mesure le temps de propagation des signaux, donc sa distance à chaque satellite, et cherche le point situé à ces distances. Le mot « triangulation » est employé à tort dans la plupart des vulgarisations.

Q : Quelle longueur de base faut-il choisir ? R : Une base du même ordre de grandeur que la distance à mesurer. Avec une base trop courte, les deux visées sont presque parallèles, le triangle est très aplati et la moindre erreur angulaire fait exploser l’incertitude sur la distance.

Q : Pourquoi ma triangulation donne-t-elle un résultat aberrant ? R : Vérifiez d’abord que la somme des angles mesurés est inférieure à 180° : si  + B̂ dépasse 180°, une des visées est fausse. La cause la plus fréquente est une perturbation magnétique de l’azimut par du métal proche.

Q : Peut-on trianguler avec un seul point de mesure ? R : Non pour une distance horizontale : il faut deux points de vue distincts, donc une base. En revanche, pour une hauteur, le sol lui-même fournit la base : la distance horizontale à l’objet joue ce rôle et un seul angle suffit.

Q : Faut-il tenir compte de la courbure de la Terre ? R : Pas en classe. Sur quelques centaines de mètres, la correction est très inférieure à l’incertitude de mesure. Elle devient indispensable pour des triangles de plusieurs dizaines de kilomètres, où l’on travaille en trigonométrie sphérique et où l’on corrige aussi la réfraction atmosphérique.

Concepts liés

Théodolite - Loi des sinus - Trilatération - Azimut - Angle d’élévation - Parallaxe - Géodésie - Magnétomètre - Accéléromètre