Battement acoustique

Les battements acoustiques se produisent lorsqu’on combine deux ondes sonores de fréquences légèrement différentes, créant une oscillation dans l’intensité perçue du son. Ce phénomène, au programme de Terminale, illustre la superposition des ondes et les interférences. Il sert depuis des siècles à accorder les instruments dans les orchestres.

Observer expérimentalement le battement acoustique

Avec l’application FizziQ, il est possible de créer et d’analyser des battements acoustiques.

Étapes :

• Ouvrir FizziQ et sélectionner le synthétiseur de fréquences
• Générer deux sons de fréquences proches (ex : 440 Hz et 442 Hz)
• Observer l’oscillation du niveau sonore avec le sonomètre
• Mesurer la fréquence de battement (ici 2 Hz) et vérifier qu’elle correspond à |f₂ - f₁|
• Utiliser deux diapasons légèrement désaccordés pour une version acoustique

Compétences ECE mobilisables

• S’approprier : Identifier le phénomène de battement comme une interférence
• Analyser : Prévoir la fréquence de battement connaissant les fréquences sources
• Réaliser : Acquérir un signal et mesurer la période de battement
• Valider : Comparer la fréquence mesurée à la valeur théorique

Activités scientifiques sur ce thème

• Créer et analyser un battement acoustique grâce au synthétiseur de FizziQ
• Interférences sonores destructives
• Diapasons : fréquence du La

Prolongements possibles avec FizziQ : accorder deux diapasons par la méthode des battements et mesurer la désaccordation entre deux instruments.

En savoir plus

Le phénomène de battement acoustique est une illustration directe de la superposition d’ondes. Il est connu et exploité par les accordeurs bien avant d’être décrit mathématiquement : c’est Joseph Sauveur, au tout début du XVIIIᵉ siècle, qui en donne la première analyse quantitative et énonce que le nombre de battements par seconde est égal à la différence des fréquences. (Christian Doppler, souvent cité à tort ici, publie en 1842 sur un phénomène différent : l’effet Doppler, qui concerne le décalage de fréquence lié au mouvement relatif source-observateur.)

Les battements acoustiques se produisent lorsqu’on combine deux ondes sonores de fréquences légèrement différentes, créant ainsi une oscillation dans l’intensité perçue du son. Pour l’expliquer, on peut imaginer deux ondes qui se rencontrent : lorsqu’elles sont en phase, elles s’additionnent pour augmenter l’amplitude du son (interférence constructive), et lorsqu’elles sont en déphasage, elles s’annulent partiellement (interférence destructive), résultant en une variation cyclique du volume sonore, c’est-à-dire le battement.

La formule qui décrit ce phénomène est simple : la fréquence du battement est égale à la différence en valeur absolue entre les deux fréquences en jeu. Si f₁ et f₂ sont les fréquences des deux ondes sonores, alors la fréquence de battement f_b vaut : f_b = |f₁ − f₂|. La valeur absolue n’est pas un détail : une fréquence est positive, et 440 Hz avec 442 Hz donnent le même battement de 2 Hz que 442 Hz avec 440 Hz. C’est d’ailleurs la limite de la méthode pour un accordeur : le battement seul ne dit pas dans quel sens il faut corriger.

On peut noter un certain nombre d’applications pratiques du phénomène de battements acoustiques. Il est ainsi utilisé depuis des siècles pour accorder précisément les instruments dans les orchestres. Lorsque deux notes sont jouées ensemble, si elles ne sont pas exactement à la même fréquence, le battement sera entendu. Les musiciens ajustent alors les fréquences jusqu’à ce que le battement disparaisse, signalant que les notes sont en unisson.

Les facteurs d’orgues exploitent aussi le désaccord volontaire de deux tuyaux, mais il faut distinguer deux effets bien différents. Dans les jeux dits ondulants (voix céleste, unda maris), deux tuyaux séparés de 1 à 3 Hz produisent un battement lent : le son n’est pas plus grave, il ondule. En revanche, la « quinte acoustique » qui permet de suggérer un 16 pieds avec des tuyaux plus courts ne relève pas du battement : elle repose sur un son différentiel, un son de combinaison créé par la réponse non linéaire de l’oreille (et de l’air à forte amplitude), qui fait entendre une hauteur à f₂ − f₁. Le battement est une variation d’amplitude ; le son différentiel est une hauteur réellement perçue. Les confondre est une erreur fréquente.

Enfin, plus récemment l’effet de battement acoustique a été popularisé par les compositeurs de musique électronique sous le nom de LFO, pour Low Frequency Oscillator.

Le calcul, et le piège du facteur 2

Considérons deux ondes de fréquences f₁ et f₂, de même amplitude et sans déphasage : y₁(t) = A·sin(2πf₁t) et y₂(t) = A·sin(2πf₂t). Les formules de Simpson donnent :

y(t) = y₁(t) + y₂(t) = 2A · sin(π(f₁+f₂)t) · cos(π(f₁−f₂)t)

(attention : on lit souvent cette formule recopiée avec (f₁+f₂) dans les deux facteurs - c’est une coquille classique, le terme lent est bien en f₁−f₂.)

Le résultat s’interprète comme une vibration rapide, la porteuse, de fréquence moyenne (f₁+f₂)/2 - c’est la hauteur qu’on entend - dont l’amplitude est modulée lentement par le facteur cos(π(f₁−f₂)t).

C’est ici qu’est la confusion la plus fréquente. Le terme modulant mathématique cos(π(f₁−f₂)t) oscille bien à la fréquence |f₁−f₂|/2. Mais l’oreille, comme le sonomètre, ne perçoit pas le signe de l’amplitude : elle perçoit son module, l’enveloppe |cos(π(f₁−f₂)t)|. Or prendre la valeur absolue d’un cosinus double sa fréquence : le cosinus s’annule deux fois par période, donc l’enveloppe repasse deux fois par zéro et deux fois par un maximum pendant chaque période du terme modulant.

La fréquence de battement perçue vaut donc :

f_b = 2 × |f₁−f₂|/2 = |f₁ − f₂|

Autrement dit : le terme modulant est à |f₁−f₂|/2, le battement audible est à |f₁−f₂|. Les deux affirmations sont vraies, elles ne parlent simplement pas de la même grandeur. Avec 440 Hz et 442 Hz, le facteur cosinus oscille à 1 Hz, mais on entend bien 2 renflements sonores par seconde.

Quand cesse-t-on d’entendre un battement ?

Le battement n’est audible que si l’écart de fréquence reste faible. En pratique :

• en dessous d’environ 15 Hz d’écart, on perçoit un son unique dont l’intensité fluctue : c’est le battement ;
• entre 15 et 30 Hz environ, la fluctuation devient trop rapide pour être suivie et laisse place à une sensation de rugosité désagréable ;
• au-delà, l’oreille sépare les deux sons et entend deux hauteurs distinctes. Il n’y a plus de battement perçu, alors que la superposition mathématique, elle, reste exactement la même.

Ce point est important : le battement n’est pas produit par l’oreille, il est bien présent dans le signal de pression. Mais sa perception dépend du pouvoir de résolution temporelle et fréquentielle de l’oreille.

Battement et interférences : le même phénomène, dans deux dimensions différentes

Les battements sont des interférences dans le temps : en un point fixe, l’amplitude varie au fil des secondes. Les figures d’interférences classiques (deux haut-parleurs en phase, fentes d’Young) sont des interférences dans l’espace : à un instant donné, l’amplitude varie selon l’endroit. Dans les deux cas, la cause est la même - la superposition de deux ondes et le déphasage qui évolue.

Battements et Oscillateurs Basse Fréquence (LFO) (blog FizziQ) fait le lien entre battement acoustique et modulation en musique électronique | Six expériences avec le synthétiseur de fréquences d’un smartphone décrit comment produire les deux sons purs nécessaires.

Niveau scolaire et programmes

Terminale générale - Enseignement de spécialité Physique-Chimie

• Thème : Ondes et signaux
• Capacité exigible : Exploiter, à l’aide d’un microphone et d’un oscilloscope ou d’une interface d’acquisition, des enregistrements de signaux sonores

Formule

Superposition de deux sons purs de même amplitude :

y(t) = 2A · sin(2π · ((f₁+f₂)/2) · t) · cos(2π · ((f₁−f₂)/2) · t)

Fréquence de la porteuse, c’est-à-dire la hauteur perçue :

f_porteuse = (f₁ + f₂) / 2

Fréquence de battement perçue (celle que l’on compte à l’oreille ou sur le sonomètre) :

f_b = |f₁ − f₂|

Période de battement :

T_b = 1 / |f₁ − f₂|

où :

• f₁, f₂ : fréquences des deux sons purs superposés (Hz)
• f_b : fréquence de battement, nombre de renflements sonores par seconde (Hz)
• T_b : durée séparant deux maxima d’intensité successifs (s)
• A : amplitude de chacune des deux ondes (unité de pression, Pa)
• y(t) : surpression acoustique résultante (Pa)

Exemples d’application

• Accord d’un instrument. Un diapason à 440 Hz et une corde de piano à 437 Hz donnent f_b = 3 Hz, soit un renflement toutes les 0,33 s, très facile à compter. L’accordeur tend la corde jusqu’à ce que les battements ralentissent puis disparaissent. La méthode est redoutablement sensible : compter un battement toutes les 10 secondes, c’est régler la corde à 0,1 Hz près, soit 0,02 % - bien mieux que ce que l’oreille sait faire en comparant deux hauteurs isolées.
• Deux flûtes à bec en classe. Deux élèves jouant le même la ne sont jamais exactement d’accord : l’écart typique de 2 à 5 Hz produit un battement audible, que le sonomètre de FizziQ enregistre sous forme d’ondulation régulière du niveau.
• Jeu ondulant de l’orgue. Deux tuyaux désaccordés de 1 à 2 Hz produisent le vibrato lent caractéristique de la voix céleste.
• Réglage des moteurs d’avion. Sur un bimoteur à hélices, un léger écart de régime entre les deux moteurs crée un battement de quelques hertz nettement audible en cabine ; les pilotes synchronisent les hélices précisément pour le supprimer.
• Mesure de fréquence par hétérodynage. En électronique, on mélange le signal inconnu avec un signal de référence connu et l’on mesure la fréquence de battement, beaucoup plus basse donc plus facile à compter. C’est le principe du récepteur radio superhétérodyne, transposé du domaine acoustique.
• Contrôle de tension d’une corde. Une corde de guitare accordée à 110 Hz que l’on détend jusqu’à obtenir 1 battement par seconde avec une référence est désaccordée de 1 Hz, soit environ 16 centièmes de demi-ton.

FAQ

Q : La fréquence de battement, c’est |f₁ − f₂| ou |f₁ − f₂|/2 ? R : Les deux formules circulent parce qu’elles décrivent deux choses différentes. Le terme modulant du calcul, cos(π(f₁−f₂)t), oscille à |f₁−f₂|/2. Mais l’oreille perçoit l’enveloppe, c’est-à-dire la valeur absolue de ce terme, qui passe par un maximum deux fois par période. Le battement audible est donc à |f₁ − f₂|. C’est cette valeur qu’on mesure en classe.

Q : Quelle note entend-on quand deux sons battent ? R : Une seule hauteur, celle de la fréquence moyenne (f₁+f₂)/2, dont le volume fluctue. Avec 440 et 442 Hz, on entend un la de 441 Hz qui enfle et s’estompe deux fois par seconde - pas deux notes, et surtout pas une note de 2 Hz, qui serait de toute façon inaudible.

Q : Le battement existe-t-il si personne n’écoute, ou est-ce une illusion de l’oreille ? R : Il existe réellement dans le signal : un microphone ou un capteur de pression enregistre bien la modulation d’amplitude. Ce n’est pas une illusion auditive, contrairement au son différentiel qui, lui, naît de la non-linéarité de l’oreille.

Q : Pourquoi n’entend-on plus de battement quand les fréquences sont trop éloignées ? R : Au-delà d’une vingtaine de hertz d’écart, la modulation devient trop rapide pour être suivie par l’oreille, qui finit par séparer les deux sons en deux hauteurs distinctes. La modulation reste pourtant présente dans le signal, et l’analyse spectrale la retrouve.

Q : Faut-il deux sons de même amplitude pour observer un battement ? R : Non, mais c’est le cas le plus net. Si les amplitudes diffèrent, l’enveloppe ne descend plus jusqu’à zéro : le son ne s’annule jamais complètement et la fluctuation est moins marquée. Sa fréquence, elle, reste |f₁ − f₂|.

Concepts liés

Interférences - Superposition d’ondes - Son pur - Synthétiseur de sons - Fréquence fondamentale - Fréquence des notes de musique - Diapason - Modulation d’amplitude - Effet Doppler - Réduction de bruit active