Pi (π) est une constante mathématique définissant le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Autrement dit, si on divise la circonférence d’un cercle par son diamètre, on obtient toujours le même nombre, qui est approximativement égal à 3,14159.
Observer expérimentalement le nombre Pi
FizziQ permet de retrouver expérimentalement la valeur de π à partir de mesures physiques, sans jamais utiliser la touche π de la calculatrice. La méthode la plus accessible est celle du pendule simple, dont la période fait intervenir 2π.
Étapes :
- Fabriquer un pendule simple : une petite masse dense suspendue à un fil fin. Mesurer la longueur ℓ du fil, du point d’attache au centre de la masse, avec un mètre ruban.
- Écarter le pendule de moins de 10° et le lâcher sans vitesse initiale : au-delà, la période cesse d’être indépendante de l’amplitude et la formule ne s’applique plus.
- Enregistrer les oscillations avec le sonomètre de FizziQ, en plaçant un repère sonore (léger contact) à chaque passage, ou filmer le mouvement et le pointer dans le module Cinématique.
- Chronométrer 20 oscillations complètes plutôt qu’une seule, puis diviser par 20 : l’incertitude de déclenchement est ainsi divisée par vingt.
- Calculer π à partir de la période mesurée : π = (T/2)·√(g/ℓ), avec g = 9,81 m/s². Comparer à 3,1416 et exprimer l’écart relatif.
- Recommencer pour trois longueurs différentes, tracer T² en fonction de ℓ et déduire π de la pente du graphique, qui vaut 4π²/g.
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Irrationnel et transcendant : deux propriétés distinctes
Ces deux mots sont constamment confondus, alors qu’ils disent des choses différentes. Un nombre est irrationnel s’il ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entiers ; son développement décimal est alors infini et non périodique. L’irrationalité de π a été démontrée par Johann Heinrich Lambert en 1761. Un nombre est transcendant s’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers. La transcendance est une propriété plus forte : tout nombre transcendant est irrationnel, mais l’inverse est faux. Ainsi √2 est irrationnel sans être transcendant, puisqu’il est racine de x² − 2 = 0. La transcendance de π a été établie par Ferdinand von Lindemann en 1882.
La quadrature du cercle
Le résultat de Lindemann a clos un problème vieux de vingt-quatre siècles. Construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné reviendrait à construire le nombre √π à partir de l’unité. Or on sait que tout nombre constructible à la règle et au compas est algébrique : il est solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Comme π est transcendant, √π l’est aussi, donc n’est pas constructible. La quadrature du cercle n’est pas difficile, elle est impossible, et c’est bien la transcendance - et non la simple irrationalité - qui l’établit.
Mesurer π expérimentalement
Plusieurs protocoles permettent d’obtenir π sans le connaître à l’avance. Le plus direct consiste à mesurer le périmètre et le diamètre d’objets circulaires de tailles variées, puis à tracer le périmètre en fonction du diamètre : la pente vaut π. La méthode de Monte-Carlo repose sur le hasard : on tire des points au sort dans un carré de côté 2R et on compte la proportion de ceux qui tombent dans le disque inscrit, égale à π/4. Sa convergence est lente - l’incertitude décroît comme 1/√N, si bien qu’il faut multiplier le nombre de tirages par cent pour gagner un seul chiffre. La voie physique enfin passe par la période d’un pendule ou d’un système masse-ressort, où π apparaît via le facteur 2π. L’article Mesurer Pi avec son smartphone : un défi pédagogique stimulant détaille cinq de ces approches, du compteur kilométrique de Vitruve à l’effet Doppler en mouvement circulaire, en passant par la méthode de Monte-Carlo.
Pourquoi π apparaît partout en physique
Pi surgit dès qu’un phénomène possède une symétrie de rotation ou un caractère périodique. En cinématique circulaire, la vitesse angulaire s’écrit ω = 2πf et la vitesse linéaire v = ωR : un tour complet vaut 2π radians. Les aires et volumes de révolution font intervenir π : aire d’un disque A = πR², volume d’une sphère V = (4/3)πR³, volume d’un cylindre V = πR²h. En magnétisme, le champ créé par un fil rectiligne infini vaut B = μ₀I/(2πR) : le 2πR est simplement le périmètre du cercle sur lequel se referment les lignes de champ. Le facteur 4π de la loi de Coulomb, F = q₁q₂/(4πε₀r²), a la même origine géométrique : c’est la surface d’une sphère de rayon unité. En mécanique quantique enfin, la constante de Planck réduite ħ = h/(2π) intervient dans la relation d’indétermination ΔxΔp ≥ ħ/2, parce que la description ondulatoire ramène toujours à des phases exprimées en radians.
Ordres de grandeur
π ≈ 3,141 592 653 589 793. L’approximation 22/7 est juste à 4 × 10⁻⁴ près, 355/113 à 3 × 10⁻⁷ près. Archimède, vers 250 av. J.-C., encadre π entre 223/71 et 22/7 en comparant les polygones inscrits et circonscrits à 96 côtés. Quinze décimales suffisent à calculer la circonférence de la Terre au millimètre près ; la NASA en utilise quinze pour ses calculs de navigation interplanétaire, et trente-neuf suffiraient à calculer la circonférence de l’univers observable à l’épaisseur d’un atome d’hydrogène près. Plus de 10¹⁴ décimales ont pourtant été calculées, essentiellement comme test de calcul intensif.
Formule
Définition de π, rapport constant du périmètre d’un cercle à son diamètre :
π = P / d
où :
- P : périmètre (circonférence) du cercle (m)
- d : diamètre du cercle (m)
Aire d’un disque et volume d’une sphère :
A = πR² et V = (4/3)πR³
où :
- R : rayon (m)
- A : aire (m²)
- V : volume (m³)
Période d’un pendule simple aux petites oscillations, relation qui permet de mesurer π :
T = 2π√(ℓ/g)
où :
- T : période des oscillations (s)
- ℓ : longueur du pendule (m)
- g : intensité de la pesanteur, 9,81 m/s²
Méthode de Monte-Carlo : pour N points tirés au hasard dans un carré et n tombant dans le quart de disque inscrit,
π ≈ 4n / N
où :
- n : nombre de points situés à l’intérieur du disque
- N : nombre total de points tirés
Vitesse angulaire d’un mouvement circulaire uniforme :
ω = 2πf = 2π/T
où :
- ω : vitesse angulaire (rad/s)
- f : fréquence (Hz)
- T : période (s)
Exemples d’application
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Une roue de vélo de 70 cm de diamètre parcourt π × 0,70 ≈ 2,2 m par tour : compter les tours suffit à mesurer une distance, c’est le principe du compteur kilométrique.
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Un pendule de 1,00 m de long a une période de 2π√(1,00/9,81) = 2,006 s. Inversement, chronométrer cette période donne π à mieux de 1 % avec un simple fil et une masse.
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Un tirage Monte-Carlo de 10 000 points donne typiquement π = 3,14 ± 0,03 : la précision reste modeste, ce qui illustre concrètement la convergence en 1/√N.
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Sur un manège tournant à 6 tours par minute, soit f = 0,10 Hz, la vitesse angulaire vaut ω = 2π × 0,10 ≈ 0,63 rad/s.
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Un fil rectiligne parcouru par 10 A crée à 5 cm un champ B = (4π × 10⁻⁷ × 10)/(2π × 0,05) = 4,0 × 10⁻⁵ T, comparable au champ magnétique terrestre.
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Une balle de tennis de 6,7 cm de diamètre a un volume de (4/3)π × (0,0335)³ ≈ 1,6 × 10⁻⁴ m³, soit environ 160 mL.
FAQ
Q : Quelle est la différence entre irrationnel et transcendant ? R : Irrationnel signifie « qui ne s’écrit pas comme une fraction d’entiers ». Transcendant signifie « qui n’est racine d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers ». La seconde propriété implique la première mais pas l’inverse : √2 est irrationnel et pourtant racine de x² − 2 = 0, donc algébrique et non transcendant. π, lui, est les deux.
Q : Pourquoi ne peut-on pas faire la quadrature du cercle ? R : Parce que les nombres constructibles à la règle et au compas sont tous algébriques, alors que π est transcendant. Construire un carré de même aire qu’un disque exigerait de construire √π, ce qui est donc exclu. Lindemann l’a démontré en 1882 ; ce n’est pas une question de technique de tracé mais une impossibilité de principe.
Q : Combien de décimales de π faut-il en pratique ? R : Très peu. Trois ou quatre décimales suffisent à tout calcul de TP, où l’incertitude vient des mesures et non de π. Quinze décimales permettent déjà des calculs de trajectoire interplanétaire au mètre près. Les millions de décimales calculées servent à tester des algorithmes et des machines, pas à faire de la physique.
Q : Pourquoi ma mesure de π avec le pendule donne-t-elle 3,05 ? R : Le plus souvent parce que l’amplitude était trop grande : au-delà d’une dizaine de degrés, la période réelle dépasse 2π√(ℓ/g) et π calculé sort trop petit. Les autres causes classiques sont une longueur mesurée jusqu’au haut de la masse au lieu de son centre, et un chronométrage sur une seule oscillation.
Q : Pourquoi π apparaît-il dans des formules sans cercle apparent, comme celle de Heisenberg ? R : Parce que ces formules décrivent des phénomènes ondulatoires ou périodiques. Une phase se mesure en radians, et un cycle complet vaut 2π radians. Dans ΔxΔp ≥ ħ/2, le π est caché dans ħ = h/(2π) : il vient du passage de la fréquence à la pulsation, donc bien d’une rotation.
Concepts liés
Nombre irrationnel - Nombre transcendant - Radian - Mouvement circulaire uniforme - Pendule simple - Période - Fréquence - Méthode de Monte-Carlo - Vitesse angulaire