Cycloïde d'une roue en rotation
Étude expérimentale de la cycloïde
Description détaillée
Dans cette activité, l'élève utilise l’outil cinématique pour étudier une cycloïde. Cette courbe représente la trajectoire d’un point fixé à un cercle qui roule sans glissement et à vitesse constante sur une route. À partir d’une vidéo d’un vélo, d’une voiture ou d’un camion par exemple, ou à partir de la vidéo « Cycloïde » de la bibliothèque FizziQ, l'élève pourra, via l’outil cinématique de FizziQ, visualiser la trajectoire et mesurer ses principales caractéristiques. On peut aussi voir comment se déforme cette courbe en faisant varier la hauteur du point pris sur le cercle. Le module d'analyse vidéo de FizziQ permet de pointer image par image la position du point suivi et d'enregistrer automatiquement ses coordonnées, le cahier d'expérience servant à consigner l'hypothèse initiale et les mesures obtenues.
Objectifs pédagogiques
- Identifier expérimentalement une trajectoire cycloïdale à partir d’une vidéo réelle
- Mesurer la hauteur maximale d’une cycloïde
- Déterminer la période spatiale d’une trajectoire cycloïdale
- Comprendre la composition d’un mouvement de rotation et de translation
- Comparer différentes trajectoires obtenues selon la position du point étudié
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Module d'analyse vidéo (cinématique)
Capteurs
- Caméra
Fonctionnalités FizziQ
- Bibliothèque de vidéos — Fournit la vidéo « Cycloïde » prête à pointer, en alternative à une vidéo filmée par l'élève.
- Cahier d'expérience — Sert à noter l'hypothèse initiale sur la trajectoire, puis à organiser les mesures et commentaires.
Matériel nécessaire
- Smartphone avec l'application FizziQ
- Vidéo d'un vélo en mouvement ou utilisation de la vidéo 'Cycloïde' de la bibliothèque FizziQ
- Cahier d'expériences
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil d'analyse vidéo comparable.
Protocole expérimental
Avant de commencer, fais une hypothèse : représente-toi un point marqué sur le bord de la roue d'un vélo qui avance à vitesse constante sans glisser, et dessine sur une feuille la trajectoire que ce point décrit selon toi. Note ton hypothèse dans ton cahier d'expériences.
Dans la rue, prends une courte vidéo d'un vélo qui passe. Fais bien attention à être le plus perpendiculaire possible à la trajectoire du vélo pour limiter les effets de perspective. Tu peux également utiliser la vidéo appelée Cycloïde que tu trouveras dans les vidéos cinématiques de FizziQ.
Dans FizziQ, va dans l'onglet outils et ouvre « Étude cinématique ». Choisis « vidéo » et sélectionne la vidéo.
Détermine l'échelle de la vidéo : si tu as filmé un vrai vélo, utilise le diamètre réel de la roue (environ 70 cm pour une roue de route classique). Si tu utilises la vidéo « Cycloïde » de la bibliothèque, tu peux prendre le rayon de la roue comme unité de longueur (r = 1) : les résultats s'exprimeront alors en multiples du rayon.
Réalise ensuite le pointage d'un point sur le cercle de la roue pour enregistrer les positions de ce point durant le temps.
Quelle est la hauteur maximale atteinte ? La courbe est-elle périodique et, si oui, quelle est sa période spatiale ? De quels paramètres dépendent ces grandeurs ?
Recommence l'expérience en pointant un point situé entre le centre et le bord de la roue (par exemple à mi-rayon), donc qui ne touche jamais la route. Compare les deux courbes.
Que devient la courbe si on remonte jusqu'au centre de la roue ?
Organise les données dans ton cahier et ajoute des commentaires.
Résultats attendus
La trajectoire d’un point situé sur le bord de la roue apparaît sous forme d’une succession d’arcs présentant des pointes au niveau du sol. Cette trajectoire est périodique et sa forme correspond à celle d’une cycloïde. La hauteur maximale mesurée est proche de deux fois le rayon de la roue. La distance horizontale entre deux pointes successives correspond à une période spatiale constante.
Lorsque le point étudié est déplacé vers l’intérieur de la roue, la trajectoire obtenue devient plus arrondie et ne touche plus le sol. Cette trajectoire correspond à une cycloïde raccourcie (aussi appelée trochoïde). Lorsque le point étudié correspond au centre de la roue, la trajectoire devient une droite horizontale.
Des erreurs expérimentales peuvent apparaître en raison de la perspective, de la résolution de la vidéo ou de l’imprécision du pointage manuel.
Questions scientifiques possibles
- Pourquoi la trajectoire d’un point sur le bord d’une roue présente-t-elle des pointes au niveau du sol ?
- Comment la hauteur maximale dépend-elle du rayon de la roue ?
- Pourquoi la trajectoire devient-elle plus arrondie lorsque le point étudié est déplacé vers le centre ?
- Pourquoi le centre de la roue suit-il une trajectoire rectiligne ?
- Comment vérifier expérimentalement que le roulement se fait sans glissement ?
- Quels facteurs expérimentaux peuvent modifier la forme apparente de la trajectoire ?
Explications scientifiques
La cycloïde est une courbe mathématique décrite par un point fixé sur la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite horizontale. Paramétriquement, pour un cercle de rayon r, elle s'exprime par : x(t) = r(t − sin t) et y(t) = r(1 − cos t). Cette courbe possède plusieurs propriétés remarquables : sa hauteur maximale est égale à 2r (deux fois le rayon du cercle) et sa période horizontale est égale à 2πr. Historiquement, elle a fasciné les plus grands savants : Pascal a étudié ses propriétés géométriques (aires et volumes engendrés, concours de 1658), Huygens a démontré en 1659 sa propriété de tautochrone (le temps de descente le long d'un arc de cycloïde renversée ne dépend pas du point de départ), et le problème de la brachistochrone (courbe de descente la plus rapide), posé par Jean Bernoulli en 1696, a pour solution… une cycloïde, comme l'ont montré Newton, Leibniz et les frères Bernoulli. L'outil d'analyse cinématique de FizziQ permet de vérifier expérimentalement ces propriétés théoriques en suivant point par point la trajectoire réelle d'un point sur une roue. Lorsque le point de suivi est déplacé vers l'intérieur de la roue (sur un rayon), la courbe obtenue devient une cycloïde raccourcie (ou trochoïde). Au centre de la roue, la trajectoire devient une simple droite horizontale : le mouvement est une translation rectiligne, uniforme si le vélo avance à vitesse constante. Cette expérience illustre parfaitement la composition d'un mouvement de rotation et de translation, concept fondamental en cinématique.
Pour aller plus loin : l'article Cycloïde de Wikipédia présente les équations paramétriques et l'histoire de la courbe à un niveau accessible en lycée, et l'article Courbe brachistochrone détaille le célèbre problème de 1696 dont la cycloïde est la solution.
Extensions possibles
- Utiliser des roues de tailles différentes afin d’étudier l’influence du rayon sur la période spatiale.
- Comparer les trajectoires obtenues pour différentes vitesses de déplacement.
- Étudier une roue présentant un léger glissement afin d’observer les écarts par rapport à la cycloïde idéale.
- Utiliser une roue marquée avec plusieurs points pour observer simultanément différentes trajectoires.
- Réaliser une simulation numérique et comparer les résultats expérimentaux et théoriques.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la cycloïde ?
La cycloïde est une courbe mathématique décrite par un point fixé sur la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite horizontale.
Comment fonctionne le module d'analyse cinématique de FizziQ ?
Le module Cinématique permet d'analyser une vidéo image par image en pointant manuellement la position d'un objet. FizziQ calcule ensuite les coordonnées, vitesses et accélérations à partir de ces points, affichant les résultats sous forme de graphiques.
Comment intégrer cette activité dans un cours de physique au lycée ?
Cette activité s'inscrit dans le programme de mécanique du lycée. Elle peut être réalisée en TP (1h), en classe inversée ou à la maison. FizziQ permet un travail en autonomie avec un simple smartphone.
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