Le centre de gravité d’un corps, noté G, est le point d’application de son poids : on peut remplacer toutes les forces de pesanteur par une force unique, le poids total, appliquée en G. Cela permet de traiter un objet étendu comme un point matériel.
Observer expérimentalement le centre de gravité
Le centre de gravité ne se mesure pas avec un capteur : on le repère, soit par équilibrage, soit par la trajectoire. FizziQ permet la seconde approche, la plus riche, grâce au module d’analyse vidéo.
Étapes :
- Filmer un objet ou une personne effectuant un saut, un plongeon ou une rotation libre, avec une règle ou une longueur connue dans le champ
- Ouvrir la vidéo dans le module d’analyse cinématique de FizziQ et régler l’échelle
- Pointer, image par image, le point que l’on estime être le centre de gravité (pour un corps humain replié, il est près du bassin, parfois en dehors du corps)
- Tracer le graphique y = f(x) des positions pointées
- Vérifier le critère : si le pointage est correct, la trajectoire est une parabole régulière ; sinon, elle ondule
- Recommencer en corrigeant le pointage jusqu’à obtenir la parabole. Filmer d’assez loin, téléphone fixé sur un support et sans zoomer pendant la prise : une erreur de parallaxe déforme la trajectoire indépendamment du pointage
Activités scientifiques sur ce thème
- Centre de gravité d’un plongeur - pointer image par image le centre de gravité d’une plongeuse et valider le pointage par le caractère parabolique de la trajectoire
- Saut à la perche : bilan d’énergie
En savoir plus
Localiser G, et le distinguer du centre de masse
Pour un objet homogène et symétrique, le centre de gravité se trouve au centre géométrique ; sinon, on le détermine par le calcul ou par l’expérience. Il ne faut pas le confondre avec le centre de masse, ou centre d’inertie, barycentre des masses purement géométrique. Les deux points coïncident tant que le champ de pesanteur est uniforme sur l’étendue de l’objet, ce qui est le cas de tout objet de laboratoire, de classe ou de terrain de sport. Ils ne se séparent que pour des corps très étendus, comme un satellite en orbite ou la Terre elle-même : au lycée, la distinction est conceptuelle, jamais numérique.
L’un des contributeurs les plus notables à la compréhension du centre de gravité a été le mathématicien, physicien et ingénieur grec Archimède (287-212 av. J.-C.). Archimède a formulé des principes fondamentaux concernant les moments, les équilibres et le concept de centre de gravité. La formule qu’on lui prête, « Donnez-moi un point d’appui et un levier assez long, et je soulèverai la Terre », est rapportée par des auteurs bien postérieurs, mais elle résume justement ses travaux sur les leviers et les moments, qui fondent notre compréhension des équilibres.
Un point qui peut se trouver hors de la matière
Rien n’oblige G à être dans l’objet. Le centre de gravité d’un anneau est au centre du trou ; celui d’un boomerang ou d’un fer à cheval est dans l’air, à côté de la matière. C’est vrai aussi du corps humain : debout, bras le long du corps, G se situe à peu près à hauteur du nombril, à l’intérieur du bassin ; mais dès qu’on se plie, il sort du corps. C’est le principe du saut en hauteur en Fosbury flop : en cambrant fortement le dos au-dessus de la barre, le sauteur fait passer son centre de gravité sous la barre pendant que son corps passe au-dessus. L’énergie à fournir est celle qu’il faut pour élever G, pas pour élever la barre : le procédé fait gagner plusieurs centimètres à effort égal.
Stabilité et polygone de sustentation
Un objet posé reste en équilibre tant que la verticale passant par G tombe à l’intérieur de son polygone de sustentation, c’est-à-dire de la surface délimitée par ses points d’appui. Dès que cette verticale sort du polygone, le moment du poids fait basculer l’objet. Deux leviers pour gagner en stabilité : abaisser G (d’où le lest en fond de coque des voiliers, le plancher-batterie des voitures électriques) et élargir la base (écarter les pieds, les stabilisateurs d’une grue). La tour de Pise ne tombe pas parce que, malgré son inclinaison, la verticale de son centre de gravité reste dans sa base.
Le centre de gravité en mouvement
Le résultat le plus utile est le suivant : le centre de gravité d’un système obéit à la deuxième loi de Newton appliquée à la masse totale et aux forces extérieures seules. Une gymnaste en vol libre peut tourner, se replier, se détendre : quoi qu’elle fasse, son centre de gravité suit une parabole imposée par le seul poids, car les forces internes de ses muscles ne peuvent pas le dévier. C’est exactement le critère utilisé dans l’activité FizziQ. Même chose pour un feu d’artifice : après explosion, le centre de gravité des fragments continue la parabole de la fusée entière.
Distinguer centre de gravité, centre de masse et centre de poussée
Trois points souvent confondus. Le centre de masse est géométrique. Le centre de gravité est le point d’application du poids. Le centre de poussée est le point d’application de la poussée d’Archimède, situé au centre de gravité du volume de fluide déplacé. La stabilité d’un bateau tient à la position relative de son centre de gravité et de son centre de poussée : c’est parce que la coque gîte que le centre de poussée se décale et crée un couple de redressement.
Où cela intervient dans le programme
La notion est introduite au collège pour l’équilibre et la représentation du poids, réutilisée en seconde pour modéliser un objet par un point matériel, puis en première et terminale dès qu’on écrit un bilan de forces ou un théorème du centre d’inertie. C’est aussi la base de l’analyse vidéo : quand on pointe « l’objet » image par image, c’est bien son centre de gravité qu’on suit.
Formule
Position du centre de masse d’un ensemble de points matériels :
OG⃗ = (Σ mᵢ · OMᵢ⃗) / (Σ mᵢ)
En projection sur un axe, pour deux masses :
x_G = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)
Pour un corps continu :
OG⃗ = (1/M) ∫ OM⃗ dm
Condition d’équilibre d’un solide suspendu en un point A : G se place à la verticale de A, sous A.
où :
- G : centre de gravité (confondu avec le centre de masse en champ de pesanteur uniforme)
- mᵢ : masse du point matériel i (kg)
- Mᵢ : position du point matériel i
- M : masse totale du système (kg)
- x_G : abscisse du centre de gravité (m)
Exemples d’application
- Une haltère formée de deux masses de 5 kg et 15 kg séparées de 60 cm, barre supposée légère : x_G = (5×0 + 15×0,60)/20 = 0,45 m, soit à 45 cm de la petite masse - G est toujours plus près de la grosse masse.
- Le centre de gravité du système Terre-Lune se situe à environ 4 700 km du centre de la Terre, soit à l’intérieur de la Terre dont le rayon est 6 370 km : la Terre ne tourne donc pas autour d’un point extérieur, elle oscille autour de ce barycentre.
- Un sauteur en Fosbury franchissant 2,20 m ne fait monter son centre de gravité qu’à environ 2,10 m : la cambrure fait passer G sous la barre.
- Une voiture de sport a un centre de gravité bas (environ 45 cm du sol) alors qu’un 4×4 le place vers 70 cm : à même voie, le 4×4 se renverse pour une accélération latérale plus faible.
- Le chargement d’un avion de ligne est calculé pour que le centre de gravité reste dans une plage étroite autour du foyer aérodynamique ; hors de cette plage, l’appareil devient incontrôlable au décollage.
- Un funambule tient une longue perche souple : elle abaisse le centre de gravité de l’ensemble et augmente fortement le moment d’inertie, ce qui ralentit la chute latérale et laisse le temps de corriger.
FAQ
Q : Centre de gravité et centre de masse, c’est pareil ou pas ? R : Ce sont deux définitions différentes qui donnent le même point dans presque tous les cas pratiques. Le centre de masse est le barycentre des masses, une notion purement géométrique. Le centre de gravité est le point d’application du poids, qui dépend du champ de pesanteur. Ils coïncident dès que ce champ est uniforme sur l’objet, ce qui est vrai à notre échelle. Ils diffèrent pour un objet très étendu, comme un satellite allongé en orbite.
Q : Le centre de gravité peut-il être en dehors de l’objet ? R : Oui, et c’est fréquent. Anneau, boomerang, banane, fer à cheval, corps humain replié : dans tous ces cas G est dans le vide. C’est logique, puisque G n’est pas un morceau de matière mais un point calculé.
Q : Comment trouver le centre de gravité d’une plaque de forme quelconque ? R : On la suspend par un point, on trace la verticale passant par ce point (fil à plomb), puis on recommence en la suspendant par un autre point. G est à l’intersection des deux verticales. Un troisième essai sert de vérification.
Q : Pourquoi un objet bascule-t-il ? R : Parce que la verticale issue de son centre de gravité est sortie du polygone de sustentation, c’est-à-dire de la zone délimitée par ses appuis. Le poids crée alors un moment qui fait tourner l’objet au lieu de le maintenir.
Q : En analyse vidéo, quel point faut-il pointer sur un sportif ? R : Le centre de gravité, sinon la trajectoire obtenue n’est pas une parabole. Pointer la tête ou un pied donne une courbe qui ondule, parce que ces points tournent autour de G. C’est justement ce critère qui permet de savoir si le pointage est bon.
Concepts liés
Centre de masse - Poids - Moment d’une force - Équilibre d’un solide - Barycentre - Point matériel - Chronophotographie - Poussée d’Archimède - Moment d’inertie