Moment d'inertie d'un cylindre
Mesurer l'accélération angulaire et linéaire d'un cylindre roulant sur un plan incliné pour étudier le moment d'inertie et la conversion d'énergie.
Description détaillée
L'élève fixe son smartphone sur un cylindre et le laisse rouler sur un plan incliné. Le gyroscope mesure la vitesse angulaire ; l'accélération linéaire du cylindre en est déduite par la condition de roulement sans glissement (a = Rα). En comparant l'accélération déduite avec la valeur théorique g sin θ / (1 + I/mR²), l'élève détermine le moment d'inertie du cylindre. L'expérience illustre la répartition de l'énergie entre translation et rotation. FizziQ permet d'enregistrer en direct la vitesse angulaire ω(t) avec l'instrument Gyroscope et d'en tracer la pente pour déterminer l'accélération angulaire, sans matériel de laboratoire spécialisé.
Objectifs pédagogiques
- Mesurer simultanément l'accélération linéaire et la vitesse angulaire d'un objet en roulement
- Vérifier la condition de roulement sans glissement (v = Rω)
- Calculer le moment d'inertie à partir des données expérimentales
- Comprendre la répartition de l'énergie entre translation et rotation
- Comparer les accélérations théoriques et expérimentales pour différentes géométries
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Gyroscope (vitesse angulaire)
- Module d'analyse vidéo (cinématique)
Capteurs
- Gyroscope
- Accéléromètre
- Caméra
Matériel nécessaire
- Smartphone ou tablette avec l'application FizziQ (acquisition des données du gyroscope)
- Un plan incliné (planche avec rainure ou gouttière)
- Un cylindre (bouteille, rouleau, tube) pour fixer le smartphone
- Du ruban adhésif ou des élastiques
- Un mètre ruban
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil de mesure comparable.
Protocole expérimental
Construis un plan incliné avec une rainure ou une gouttière pour guider le cylindre. Un angle de 5° à 15° donne de bons résultats.
Fixe solidement ton smartphone à plat sur la face circulaire d'un cylindre (grande boîte ronde, rouleau large), bien centré sur l'axe de rotation, à l'aide de ruban adhésif ou d'élastiques — ou glisse-le, calé, à l'intérieur d'un contenant cylindrique. Le rayon du cylindre doit être supérieur à la demi-diagonale du téléphone (environ 8 cm) pour qu'il ne touche pas le plan. Choisis de préférence un cylindre nettement plus lourd que le téléphone : la masse du téléphone s'ajoute au système et modifie sinon le moment d'inertie mesuré.
Ouvre FizziQ et sélectionne l'instrument Gyroscope (vitesse angulaire). Repère, en faisant tourner doucement le montage à la main, lequel des axes x, y ou z correspond à l'axe du cylindre : c'est cette composante que tu enregistreras.
Place le cylindre en haut du plan incliné. Lance l'enregistrement.
Lâche le cylindre et laisse-le rouler librement jusqu'en bas du plan.
Arrête l'enregistrement. Observe le graphique de la vitesse angulaire ω(t) pendant la descente.
La vitesse angulaire devrait croître linéairement avec le temps (accélération angulaire constante) : ω = αt.
Mesure la pente α de la droite ω(t) : c'est l'accélération angulaire. Si le cylindre roule sans glisser (v = Rω), l'accélération du centre vaut a = Rα, où R est le rayon du cylindre. Pour vérifier ce non-glissement de façon indépendante, chronomètre la descente sur une distance L mesurée au mètre ruban et compare L à ½·Rα·t² (ou utilise l'analyse vidéo de FizziQ) : si les deux valeurs coïncident, le cylindre n'a pas dérapé.
Calcule le moment d'inertie à partir de a = Rα : la relation a = g sin θ / (1 + I/(mR²)) s'inverse en I = mR²·(g sin θ/a − 1). Attention : m et I désignent ici l'ensemble {cylindre + smartphone} ; la comparaison avec la formule du cylindre seul n'est valable que si le cylindre est beaucoup plus lourd que le téléphone.
Compare la valeur expérimentale du moment d'inertie avec la valeur théorique : I = ½mR² pour un cylindre plein, I = mR² pour un cylindre creux.
Résultats attendus
La vitesse angulaire croît linéairement avec le temps, confirmant une accélération angulaire constante. L'accélération déduite (a = Rα) pour un cylindre plein est environ 2/3 de g sin θ. La distance parcourue calculée à partir du gyroscope (½·Rα·t²) coïncide avec la distance mesurée, ce qui confirme le roulement sans glissement. Si le téléphone représente une part notable de la masse totale, le moment d'inertie obtenu s'écarte de la valeur théorique du cylindre seul : c'est celui du système complet qui est mesuré. Un cylindre creux descend plus lentement qu'un cylindre plein de même rayon, à cause de son moment d'inertie plus élevé. Les irrégularités du plan et les vibrations peuvent introduire du bruit dans les mesures.
Questions scientifiques possibles
- Pourquoi un cylindre plein descend-il plus vite qu'un cylindre creux de même masse et même rayon ?
- Que se passe-t-il si le frottement est insuffisant pour assurer le roulement sans glissement ?
- Pourquoi le moment d'inertie dépend-il de la distribution de masse et non seulement de la masse totale ?
- Comment vérifier expérimentalement que le roulement se fait sans glissement ?
- Si l'on fait la course entre une sphère et un cylindre de même rayon, lequel gagne ?
Explications scientifiques
Le moment d'inertie I caractérise la résistance d'un corps à la mise en rotation, de la même façon que la masse caractérise la résistance à la mise en translation. Pour un cylindre plein I = ½mR², pour un tube creux I = mR², pour une sphère pleine I = (2/5)mR². L'énergie cinétique totale d'un objet qui roule est la somme de l'énergie de translation (½mv²) et de l'énergie de rotation (½Iω²). Pour un cylindre plein, un tiers de l'énergie cinétique est dans la rotation.
La condition de roulement sans glissement v = Rω lie la vitesse de translation à la vitesse de rotation. Elle impose que le point de contact du cylindre avec le plan soit momentanément immobile. Cette condition n'est possible que grâce au frottement statique.
Sans frottement, le cylindre glisserait au lieu de rouler, et toute l'énergie serait convertie en translation. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique avec roulement, on obtient l'accélération a = g sin θ / (1 + I/(mR²)). Pour un cylindre plein (I = ½mR²), cela donne a = (2/3)g sin θ.
Pour un cylindre creux (I = mR²), a = (1/2)g sin θ. Pour une sphère pleine (I = (2/5)mR²), a = (5/7)g sin θ. Plus le moment d'inertie est grand, plus l'accélération est faible. Cette expérience est remarquable car elle permet de mesurer le moment d'inertie d'un objet sans équipement de laboratoire sophistiqué, uniquement avec un smartphone et un plan incliné.
La comparaison entre cylindre plein et cylindre creux illustre de manière frappante le rôle de la distribution de masse par rapport à l'axe de rotation.
Extensions possibles
- Faire la course entre un cylindre plein et un cylindre creux de même rayon : le plein gagne toujours
- Comparer avec une sphère (I = 2/5 mR²) qui descend plus vite que le cylindre plein
- Varier l'angle du plan et vérifier que le rapport a/(g sin θ) reste constant
- Étudier la transition roulement/glissement sur une surface peu adhérente
- Enregistrer la position en fonction du temps (par analyse vidéo) et vérifier que x ∝ t²
Questions fréquentes
Le téléphone ne tourne pas autour du bon axe.
La vitesse angulaire mesurée dépend de l'orientation du téléphone sur le cylindre. L'axe de rotation doit correspondre à l'un des axes du gyroscope (x, y ou z). Repère lequel donne les valeurs les plus grandes.
L'accélération n'est pas constante.
Vérifie que le plan est bien rectiligne et que le cylindre ne dérape pas. Des irrégularités du plan ou un démarrage brusque peuvent perturber la mesure.
Le graphique ω(t) plafonne en fin de descente.
Les gyroscopes de smartphone saturent généralement autour de 2000 °/s (environ 35 rad/s). Avec un cylindre de petit rayon ou un plan long, cette limite peut être atteinte avant le bas du plan : utilise alors un cylindre de plus grand rayon, un angle plus faible ou un plan plus court, et exploite uniquement la partie linéaire du graphique. La valeur exacte du plafond dépend du modèle de téléphone.
Pourquoi un cylindre plein descend-il plus vite qu'un tube creux ?
Le cylindre plein a un moment d'inertie I = ½mR², tandis que le tube creux a I = mR². Le tube creux stocke proportionnellement plus d'énergie en rotation, il lui en reste moins pour la translation.
Prêt à commencer ?
Téléchargez FizziQ et lancez cette activité avec vos élèves.