La régression linéaire est une méthode statistique qui permet de déterminer l’équation de la droite y = ax + b qui passe “au mieux” par un ensemble de points expérimentaux. C’est l’outil fondamental pour vérifier une loi linéaire ou déterminer des paramètres physiques à partir de mesures.
Observer expérimentalement la régression linéaire
Avec l’application FizziQ et un tableur, il est possible de réaliser des régressions linéaires.
Étapes :
- Effectuer des mesures avec FizziQ (ex : période vs longueur d’un pendule)
- Exporter les données au format CSV
- Importer dans un tableur (Excel, LibreOffice, Google Sheets)
- Tracer le graphique et ajouter une courbe de tendance linéaire
- Afficher l’équation de la droite et le coefficient R²
- Interpréter la pente et l’ordonnée à l’origine physiquement
Activités scientifiques sur ce thème
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Méthode des moindres carrés :
La droite y = ax + b est choisie pour minimiser la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite :
S = Σ(yᵢ - (axᵢ + b))²
Cette minimisation conduit à des formules explicites pour a et b.
Coefficient de détermination R² :
Le R² est le coefficient de détermination : il ne faut pas le confondre avec le coefficient de corrélation, noté r, dont il est le carré (R² = r²) dans le cas d’une régression linéaire simple.
| R² | Qualité de l’ajustement |
|---|---|
| > 0,99 | Excellente |
| 0,95 - 0,99 | Bonne |
| 0,90 - 0,95 | Acceptable |
| < 0,90 | Médiocre |
Interprétation physique :
- La pente a représente souvent une constante physique (ex : k dans F = kx)
- L’ordonnée à l’origine b peut être un offset ou doit être nulle selon la loi
- Les incertitudes sur a et b sont calculables
Formule
Pente : a = [n×Σxᵢyᵢ - (Σxᵢ)(Σyᵢ)] / [n×Σxᵢ² - (Σxᵢ)²]
Ordonnée à l’origine : b = (Σyᵢ - a×Σxᵢ) / n
Coefficient de détermination : R² = 1 - Σ(yᵢ - ŷᵢ)² / Σ(yᵢ - ȳ)²
où ŷᵢ = axᵢ + b sont les valeurs prédites.
Exemples d’application
- Loi de Hooke (F vs x) : pente = constante de raideur k
- Loi de Beer-Lambert (A vs c) : pente = ε×l
- Chute libre (v vs t) : pente = g
- Période du pendule (T² vs L) : pente = 4π²/g
FAQ
Q : Quand utiliser une régression linéaire ? R : Quand on s’attend à une relation linéaire entre deux grandeurs, ou quand on a linéarisé une relation (ex : T² en fonction de L pour le pendule).
Q : Que faire si R² est faible ? R : Vérifier les points aberrants, les incertitudes de mesure, et si le modèle linéaire est approprié. Un R² faible peut indiquer une relation non linéaire.
Q : Comment obtenir les incertitudes sur a et b ? R : Les tableurs avancés (Excel avec “Utilitaire d’analyse”) donnent ces valeurs. Sinon, des formules existent mais sont rarement demandées au lycée.
Q : Faut-il forcer la droite à passer par l’origine ? R : Seulement si la physique l’impose (ex : F = kx implique F = 0 quand x = 0). Dans ce cas, utiliser une régression sans ordonnée à l’origine.
Concepts liés
Moindres carrés - Corrélation - Linéarisation - Exploitation de TP - Coefficient de détermination - Incertitude