Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)

Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) est le mouvement d’un mobile en ligne droite dont l’accélération est constante. La vitesse varie alors de la même quantité à chaque seconde, tandis que la position évolue comme le carré du temps. La chute libre en est le cas type.

Observer expérimentalement le mouvement rectiligne uniformément accéléré

FizziQ permet de vérifier les deux signatures du MRUA : une accélération constante sur l’accéléromètre, et une parabole sur x(t) en pointage vidéo.

Étapes :

• Filmer caméra fixe la chute d’une balle le long d’un mur, avec un mètre ruban visible pour l’étalonnage, en mode ralenti si le smartphone le permet.
• Importer la vidéo dans le module Cinématique, étalonner l’échelle et pointer la balle image par image.
• Tracer y(t) : les points doivent s’aligner sur une parabole. Modéliser par un polynôme de degré 2 et lire le coefficient de t², qui vaut a/2.
• Tracer v(t) : la courbe doit être une droite. Sa pente donne directement l’accélération, à comparer à 9,81 m/s².
• Refaire la mesure sur un plan incliné : l’accélération vaut alors g·sin(α), plus faible, donc plus facile à pointer qu’une chute verticale.
• Placer le smartphone dans un ascenseur et enregistrer l’accélération linéaire : repérer la phase de démarrage à accélération constante, puis la phase de vitesse constante.

Activités scientifiques sur ce thème

Utiliser l’accéléromètre d’un portable ou l’analyse cinématique d’un smartphone pour comprendre ce qu’est un mouvement rectiligne uniformément accéléré :

• Comment le robot Opportunity sur Mars peut-il se déplacer en ligne droite ?
• Etude d’une chute libre pour calculer la pesanteur
• Analyse d’une trajectoire d’un ballon de basket
• Plan incliné de Galilée - retrouver la loi historique des espaces proportionnels au carré du temps.
• Vitesse de décollage d’un avion - mesurer l’accélération au roulage et en déduire la vitesse de rotation.

En savoir plus

La loi des espaces de Galilée

Vers 1604, Galilée fait rouler des billes sur des plans inclinés et constate que la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps. Les distances parcourues pendant des intervalles de temps égaux successifs sont dans les rapports 1, 3, 5, 7… C’est la première loi quantitative de la chute des corps, et elle contredit Aristote pour qui la vitesse de chute dépendait du poids. Le plan incliné sert à « diluer » la pesanteur pour la rendre mesurable avec les horloges de l’époque.

Vitesse nulle n’implique pas accélération nulle

C’est la confusion la plus fréquente. Lancez une balle verticalement : au sommet de sa trajectoire, sa vitesse est nulle pendant un instant, mais son accélération vaut toujours 9,81 m/s² vers le bas. Si l’accélération y était nulle, la balle resterait suspendue en l’air. La vitesse et l’accélération sont deux grandeurs indépendantes : l’une dit où on va, l’autre comment cela change.

Accélération négative, décélération, vitesse qui augmente

Le signe de a dépend de l’orientation de l’axe choisi, pas du fait que le mobile accélère ou ralentit. Le mobile ralentit quand v et a sont de signes opposés, et accélère quand ils sont de même signe. Une accélération négative avec une vitesse négative correspond à un mobile qui va de plus en plus vite dans le sens négatif. On raisonne donc toujours sur les signes relatifs, jamais sur le signe seul de a.

Décomposer un mouvement de projectile

Un ballon lancé en l’air n’est pas en MRUA, puisque sa trajectoire est courbe. Mais en projetant sur deux axes, on obtient un MRU horizontal (a_x = 0, en négligeant l’air) et un MRUA vertical (a_y = −g). Les deux composantes sont indépendantes : c’est pourquoi une balle lâchée et une balle tirée horizontalement de la même hauteur touchent le sol en même temps.

Un mouvement toujours défini par rapport à un référentiel

Comme tout mouvement, le MRUA n’a de sens que relativement à un référentiel. C’est dans le référentiel terrestre qu’une chute libre verticale est un MRUA. Le terme « rectiligne » renvoie au mouvement selon une seule ligne droite : dès qu’un mouvement se déroule sur plusieurs axes, on le décompose axe par axe pour l’analyser.

Ordres de grandeur

Chute libre : 9,81 m/s². Plan incliné à 10° : 1,7 m/s². Voiture citadine de 0 à 100 km/h en 10 s : 2,8 m/s². Freinage d’urgence sur sol sec : 6 à 9 m/s². Décollage d’un avion de ligne : 2 à 3 m/s². Fusée au décollage : 15 à 30 m/s². Coussin gonflable lors d’un choc : plusieurs centaines de m/s².

Formule

La position varie comme le carré du temps :

x(t) = x₀ + v₀·t + ½·a·t²

La vitesse varie linéairement avec le temps :

v(t) = v₀ + a·t

L’accélération est constante :

a(t) = a = constante

Une relation sans le temps relie vitesse et distance parcourue :

v² − v₀² = 2·a·(x − x₀)

où :

• x(t) : position à la date t (m)
• x₀ : position initiale (m)
• v(t) : vitesse à la date t (m/s)
• v₀ : vitesse initiale (m/s)
• a : accélération, constante (m/s²)
• t : date (s)

Exemples d’application

• Une balle lâchée sans vitesse initiale tombe de ½ × 9,81 × 1² ≈ 4,9 m en 1 s, et de 19,6 m en 2 s : quatre fois plus pour un temps deux fois plus long.

• Une voiture passant de 0 à 100 km/h (27,8 m/s) en 10 s a une accélération moyenne de 2,8 m/s² et parcourt environ 139 m.

• Une balle lancée vers le haut à 15 m/s atteint sa hauteur maximale au bout de 1,53 s, à 11,5 m : à cet instant sa vitesse est nulle mais son accélération vaut toujours 9,81 m/s².

• Un avion de ligne accélère à environ 2,5 m/s² sur la piste et atteint 70 m/s (250 km/h) après environ 28 s et 1000 m de roulage.

• Un skieur sur une pente à 15° subit une accélération de g·sin(15°) ≈ 2,5 m/s², réduite par le frottement de la neige.

• Le premier étage d’un lanceur voit son accélération augmenter au fil du vol à mesure qu’il se vide de ses ergols : le mouvement n’est donc pas exactement uniformément accéléré.

FAQ

Q : Un objet peut-il avoir une vitesse nulle et une accélération non nulle ? R : Oui, et c’est le cas au sommet d’un lancer vertical. La vitesse s’annule un instant en changeant de signe, mais la pesanteur agit sans interruption : l’accélération vaut 9,81 m/s² vers le bas pendant tout le vol, montée comprise.

Q : Accélération négative veut-elle dire que le mobile ralentit ? R : Pas nécessairement. Cela dépend du sens de la vitesse. Le mobile ralentit si v et a sont de signes opposés. Si les deux sont négatifs, il va de plus en plus vite dans le sens négatif de l’axe.

Q : Pourquoi utiliser un plan incliné plutôt qu’une chute verticale ? R : Parce que l’accélération y vaut g·sin(α), donc bien plus faible. Le mouvement est plus lent, plus facile à filmer et à pointer, et les incertitudes de mesure diminuent. C’est l’astuce qu’utilisait déjà Galilée.

Q : Un mouvement de projectile est-il un MRUA ? R : Non, sa trajectoire est parabolique, donc pas rectiligne. Mais chacune de ses deux composantes en est un cas simple : MRU à l’horizontale, MRUA à la verticale.

Q : Pourquoi ma valeur de g mesurée est-elle inférieure à 9,81 m/s² ? R : La résistance de l’air freine l’objet, surtout s’il est léger ou volumineux. Une erreur d’étalonnage de l’échelle du pointage vidéo agit aussi directement sur le résultat. Utiliser un objet dense et compact, et vérifier l’étalonnage.

Concepts liés

Accélération - Vitesse - Chute libre - Cinématique - Mouvement rectiligne uniforme (MRU) - Référentiel galiléen - Plan incliné - Mouvement parabolique - Accéléromètre