Fréquence des notes de musique

Une note de musique est un symbole qui indique la hauteur et la durée d’un son musical. Élément de base de la notation musicale, elle sert à transcrire et communiquer la musique aux musiciens. Chaque note correspond à un son d’une fréquence bien déterminée.

Observer expérimentalement la fréquence des notes de musique

Le fréquencemètre et le spectrogramme de FizziQ affichent la fréquence fondamentale d’une note jouée devant le micro, ce qui permet de reconstruire la gamme tempérée à partir de mesures.

Étapes :

• Ouvrir le fréquencemètre de FizziQ et jouer le La3 d’un diapason ou d’un instrument accordé : vérifier que l’appareil affiche bien 440 Hz.
• Jouer ensuite chaque note chromatique en montant, du La3 au La4, et relever la fréquence fondamentale de chacune dans le cahier d’expériences.
• Calculer le rapport entre chaque note et la précédente : on doit trouver à chaque fois environ 1,059, c’est-à-dire 2^(1/12).
• Vérifier le rapport entre le La3 et le La4 : il doit valoir exactement 2, quel que soit le chemin suivi.
• Comparer la quinte La3-Mi4 mesurée au rapport 3/2 d’une quinte pure : l’écart de l’ordre de 0,1 % est la signature du tempérament égal.
• Reprendre les mesures avec le spectrogramme pour observer, au-dessus du fondamental, les harmoniques qui donnent son timbre à l’instrument.

Activités scientifiques sur ce thème

Pour comprendre les fréquences des notes de musique, analysez les fréquences des notes d’une gamme avec la bibliothèque de sons et le fréquencemètre de l’application FizziQ (voir l’activité)

• Colonnes d’air et hauteur du son - faire varier la longueur d’un tube et relier la note obtenue à la longueur de la colonne d’air.

Deux articles complètent ces activités : Six expériences avec le synthétiseur de fréquences d’un smartphone et Cinq expériences à réaliser avec le spectrogramme de FizziQ Web.

En savoir plus

La fréquence des notes de musique dans la musique occidentale est déterminée par le système de notation musicale appelé échelle tempérée. Il repose sur le tempérament égal, formulé mathématiquement dès la fin du XVIe siècle : le prince chinois Zhu Zaiyu en donne le calcul exact en 1584, et en Europe Vincenzo Galilei (père de Galilée) puis Simon Stevin proposent des constructions équivalentes dans les mêmes années. Sa généralisation dans la pratique musicale occidentale est en revanche bien plus tardive et s’étale sur les XVIIIe et XIXe siècles.

Le système de tempérament égal divise l’octave en 12 intervalles égaux, chacun représentant un “demi-ton”. La fréquence d’une note donnée est déterminée en utilisant la relation mathématique suivante :

f_n = f_0 * 2^(n/12)

où f_n est la fréquence de la note, f_0 est la fréquence de la note de référence (généralement celle de l’La), et n est le nombre de demi-tons séparant la note de référence de la note ciblée.

Le La (A) de référence est généralement fixé à 440 Hz (Hertz), ce qui signifie que cette note vibre à 440 cycles par seconde. Voici les fréquences approximatives des notes de musique dans l’échelle tempérée en commençant par le La (A) de référence à 440 Hz :

• La (A) : 440 Hz
• La# (A#) ou Si♭ (B♭) : 466,16 Hz
• Si (B) : 493,88 Hz
• Do (C) : 523,25 Hz
• Do# (C#) ou Ré♭ (D♭) : 554,37 Hz
• Ré (D) : 587,33 Hz
• Ré# (D#) ou Mi♭ (E♭) : 622,25 Hz
• Mi (E) : 659,26 Hz
• Fa (F) : 698,46 Hz
• Fa# (F#) ou Sol♭ (G♭) : 739,99 Hz
• Sol (G) : 783,99 Hz
• Sol# (G#) ou La♭ (A♭) : 830,61 Hz

Le tempérament égal est un compromis, pas une solution parfaite

L’oreille juge consonants les intervalles dont le rapport de fréquences est simple : 2/1 pour l’octave, 3/2 pour la quinte, 5/4 pour la tierce majeure. Le tempérament égal, lui, impose que les douze demi-tons soient identiques, donc que tout intervalle s’écrive 2^(n/12). Or 2^(7/12) = 1,4983, alors que la quinte pure vaut 3/2 = 1,5000. La quinte tempérée est donc légèrement trop courte, d’environ 0,11 %, soit 2 cents. L’écart est encore plus net sur la tierce majeure : 2^(4/12) = 1,2599 contre 5/4 = 1,2500, soit 0,8 %, un écart de 14 cents nettement audible sur des sons tenus.

Ce n’est pas un défaut de fabrication mais une impossibilité arithmétique. Empiler douze quintes pures donne (3/2)¹² ≈ 129,7, tandis que sept octaves donnent 2⁷ = 128. Le rapport 129,7/128 ≈ 1,0136 est le comma pythagoricien : les quintes pures ne retombent jamais exactement sur l’octave, quel que soit le nombre d’empilements. Il faut donc choisir. Les tempéraments anciens concentraient l’écart sur quelques intervalles, très purs dans certaines tonalités et franchement faux dans d’autres. Le tempérament égal le répartit uniformément : aucun intervalle n’est parfaitement juste sauf l’octave, mais aucun n’est inutilisable, et toutes les tonalités deviennent équivalentes. C’est ce qui rend possible la modulation libre.

Avant l’invention de ce système, les musiciens utilisaient des systèmes de tempérament qui donnaient des notes légèrement différentes des notes actuelles, ce qui rendait difficile de jouer avec des instruments de différents fabricants ou de différents systèmes de tempérament.

Le système d’échelle tempérée a été développé pour permettre la modulation et le jeu dans différentes tonalités sans avoir besoin de réaccorder constamment les instruments. Il est largement utilisé dans la musique classique occidentale, la musique populaire et de nombreux autres genres musicaux dans le monde occidental.

Cependant, il existe d’autres systèmes d’accord dans le monde, tels que l’échelle pentatonique chinoise, l’échelle gamme maqâm en musique arabe, l’échelle pythagoricienne, et bien d’autres. Ces systèmes d’accord sont basés sur des ratios de fréquences différents et peuvent donner des couleurs musicales distinctes.

Chaque culture a ses propres traditions musicales et ses propres échelles, ce qui rend la musique du monde diversifiée et riche en textures sonores. Par exemple on peut citer :

• Échelle pentatonique chinoise : L’échelle pentatonique chinoise est largement utilisée dans la musique chinoise traditionnelle. Elle se compose de cinq notes par octave et est caractérisée par l’absence de demi-tons entre ses degrés. Les notes sont souvent notées comme do, ré, mi, sol, et la, et elles sont utilisées pour créer des mélodies mélancoliques et méditatives.
• Échelle gamme maqâm en musique arabe : La gamme maqâm est une échelle utilisée dans la musique arabe, persane et turque. Elle comprend un ensemble de notes avec des intervalles spécifiques et permet une grande flexibilité dans l’ornementation et l’expression musicale. Chaque maqâm a sa propre échelle caractéristique.
• Échelle gamelan javanais : Le gamelan est un ensemble instrumental traditionnel de Java, en Indonésie. Il utilise des échelles spécifiques pour chaque instrument, créant ainsi un son complexe et harmonieux. Les échelles gamelan varient d’une région à l’autre de Java.
• Échelle pentatonique blues : L’échelle pentatonique blues est utilisée dans le blues et le rock occidental. Elle se compose de cinq notes par octave et est célèbre pour son caractère bluesy et expressif.
• Échelle inuit (Échelle Inuit Qilaut) : Les peuples inuits du nord du Canada utilisent une échelle spécifique dans leur musique traditionnelle. Elle est basée sur les sons de la nature et est jouée sur des instruments comme les tambours et les flûtes inuites.
• Échelle pythagoricienne : L’échelle pythagoricienne est basée sur les rapports de fréquence simples et était utilisée dans la Grèce antique. Elle est construite par empilement de quintes justes de rapport 3/2, d’où des quartes justes de rapport 4/3, et c’est elle qui fait apparaître le comma pythagoricien.
• Échelles pentatoniques africaines : De nombreuses cultures africaines utilisent des échelles pentatoniques dans leur musique traditionnelle. Ces échelles varient d’une région à l’autre du continent et contribuent à la richesse de la musique africaine.

Formule

Dans la gamme tempérée, la fréquence d’une note située n demi-tons au-dessus d’une note de référence vaut :

f_n = f_0 × 2^(n/12)

où :

• f_n : fréquence de la note cherchée (Hz)
• f_0 : fréquence de la note de référence, en général le La3 à 440 Hz (Hz)
• n : nombre de demi-tons séparant les deux notes, négatif vers le grave (sans unité)

Le rapport entre deux demi-tons consécutifs est donc constant :

f_(n+1)/f_n = 2^(1/12) ≈ 1,0595

Pour n = 12, on retrouve l’octave :

f_12/f_0 = 2^(12/12) = 2

Pour comparer finement deux intervalles, on utilise le cent, centième de demi-ton tempéré :

nombre de cents = 1200 × log₂(f₂/f₁)

où :

• f₁, f₂ : les deux fréquences comparées (Hz)
• 1200 : nombre de cents dans une octave

Exemples d’application

• Le La4, une octave au-dessus du La3, vaut 440 × 2 = 880 Hz. Le La2, une octave en dessous, vaut 220 Hz.

• Le Do4 est trois demi-tons au-dessus du La3 : 440 × 2^(3/12) = 440 × 1,1892 ≈ 523,3 Hz.

• Accorder une guitare : la corde de Mi grave vibre à 82,4 Hz, celle de Mi aigu à 329,6 Hz, soit exactement deux octaves plus haut (rapport 4).

• Le diapason de référence a varié dans l’histoire : environ 415 Hz à l’époque baroque, 435 Hz en France au XIXe siècle, 440 Hz depuis la normalisation de 1939. Un orchestre baroque joue donc près d’un demi-ton plus bas qu’un orchestre moderne.

• Les battements servent à accorder : deux cordes à 440 Hz et 442 Hz produisent 2 battements par seconde. On tend la corde jusqu’à faire disparaître ces battements.

• Une flûte se dérègle en chauffant : la vitesse du son dans l’air augmente avec la température, donc la fréquence de résonance du tuyau monte. C’est pourquoi les instruments à vent montent en cours de concert alors que les cordes descendent.

FAQ

Q : Pourquoi 2^(1/12) et pas un autre nombre ? R : Parce qu’on veut douze demi-tons identiques dans une octave, et que l’octave correspond à un doublement de fréquence. Il faut donc un rapport r tel que r¹² = 2, d’où r = 2^(1/12) ≈ 1,0595. Les intervalles musicaux se multiplient, ils ne s’additionnent pas.

Q : Pourquoi la quinte tempérée n’est-elle pas exactement 3/2 ? R : Parce que 2^(7/12) = 1,4983 et non 1,5. C’est mathématiquement inévitable : une puissance de 2^(1/12) ne peut pas valoir exactement 3/2, car cela reviendrait à écrire 3 comme une puissance rationnelle de 2. Le tempérament égal accepte cet écart de 2 cents, imperceptible, pour rendre toutes les tonalités jouables.

Q : Qu’est-ce que le comma ? R : C’est le petit écart résiduel entre des intervalles construits par des chemins différents. Le comma pythagoricien est le rapport entre douze quintes pures et sept octaves, soit environ 1,0136 ou 23 cents. C’est la manifestation concrète de l’impossibilité d’accorder un instrument sur des intervalles tous purs.

Q : Deux instruments jouant la même note ont-ils le même son ? R : Non. Ils ont la même fréquence fondamentale, donc la même hauteur, mais des harmoniques d’intensités différentes. C’est cette répartition des harmoniques, visible au spectrogramme, qui constitue le timbre et permet de reconnaître une flûte d’un violon.

Q : Le fréquencemètre affiche une valeur instable, est-ce normal ? R : Oui pour une note d’instrument, surtout au moment de l’attaque et sur les instruments à vibrato. Il faut lire la valeur pendant la partie tenue et stable du son, et travailler dans un endroit silencieux : un bruit de fond intense peut faire décrocher l’algorithme vers une harmonique.

Concepts liés

Fréquence - Hauteur d’un son - Octave - Harmonique - Timbre - Spectrogramme - Battements - Résonance - Longueur d’onde