Système solaire : lois de Kepler
Modéliser les quatre planètes telluriques (Mercure, Vénus, Terre, Mars) en orbite autour du Soleil avec leurs distances et vitesses réelles dans la simulation Orbites et Gravitation de FizziQ Web.
Description détaillée
L'élève configure dans la simulation Orbites et Gravitation un système à cinq corps : le Soleil et les quatre planètes telluriques (Mercure, Vénus, Terre, Mars), avec leurs masses, distances et vitesses orbitales réelles. Il lance la simulation et observe les quatre orbites colorées emboîtées autour du Soleil. Il mesure la période de révolution de chaque planète et la compare aux valeurs astronomiques (88, 225, 365 et 687 jours). Il découvre qu'une planète éloignée tourne plus lentement et calcule des rapports T²/r³ pour mettre en évidence une régularité commune aux quatre orbites. FizziQ enregistre automatiquement, via le bouton REC de la simulation, les positions x et y de chaque planète et les exporte vers le cahier d'expérience, où l'élève trace les courbes et calcule les périodes.
Objectifs pédagogiques
- Configurer un système à cinq corps dans la simulation Orbites et Gravitation de FizziQ Web
- Saisir les masses, distances et vitesses orbitales réelles des quatre planètes telluriques
- Mesurer la période de révolution de chaque planète et la comparer aux valeurs astronomiques connues
- Identifier la relation qualitative entre la distance au Soleil et la durée d'une révolution
- Découvrir une régularité numérique commune aux quatre orbites (T² ÷ r³ ≈ 1 en années et ua)
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Simulation Orbites et Gravitation (FizziQ Web)
Fonctionnalités FizziQ
- Cahier d'expérience — Reçoit automatiquement les positions x/y de chaque planète exportées depuis la simulation, pour tracer les courbes x(t), mesurer les périodes et compléter le tableau de résultats.
Matériel nécessaire
- Ordinateur, tablette ou smartphone avec FizziQ Web
- Cahier d'expérience FizziQ
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil de simulation gravitationnelle comparable.
Protocole expérimental
Ouvrir la simulation Orbites et Gravitation dans FizziQ Web (Expérimenter → Simulations → Orbites et gravitation).
Régler l'échelle de distance à 1 500 000 km/pixel (icône règle) pour voir les orbites jusqu'à Mars, et l'échelle de temps à 6 heures par image (icône vitesse) pour observer plusieurs révolutions.
Sélectionner le corps 1 et le configurer comme Soleil : masse 333 000 M⊕ (curseur sur « Soleil »), vitesse 0 km/s, angle 0°. Le laisser au centre de l'écran.
Sélectionner le corps 2 et le configurer comme Mercure : masse personnalisée 0,055 M⊕, vitesse 47,4 km/s, angle -90°. Le faire glisser à droite du Soleil jusqu'à ce que le panneau « distances » affiche environ 58 millions de km.
Ajouter un nouveau corps via l'onglet « + » et le configurer comme Vénus : masse 0,815 M⊕, vitesse 35,0 km/s, angle -90°, distance au Soleil 108 millions de km.
Ajouter le corps Terre : masse 1 M⊕, vitesse 29,8 km/s, angle -90°, distance au Soleil 150 millions de km.
Ajouter le corps Mars : masse 0,107 M⊕, vitesse 24,1 km/s, angle -90°, distance au Soleil 228 millions de km.
Attribuer une couleur différente à chaque planète via le bouton palette pour les distinguer facilement.
Cliquer sur le bouton de centrage du corps 1 (Soleil) dans la zone Centrage afin de fixer la vue sur le Soleil pendant toute la simulation.
Cliquer sur le bouton rouge REC pour démarrer l'enregistrement. La simulation se lance automatiquement et trace les quatre orbites colorées emboîtées autour du Soleil.
Laisser tourner la simulation jusqu'à ce que Mars effectue au moins une révolution complète (~687 jours ; à l'écran, cela prend de l'ordre de la minute selon l'appareil). Pendant ce temps, Mercure aura tourné environ 8 fois.
Cliquer à nouveau sur REC pour arrêter l'enregistrement. Les positions x et y de chaque planète sont automatiquement exportées vers le cahier d'expérience.
Dans le cahier d'expérience, tracer pour chaque planète la coordonnée x en fonction du temps. La courbe est sinusoïdale : la durée entre deux maxima successifs donne la période T.
Compléter un tableau à 5 colonnes : Planète, Distance r (millions de km), T mesurée (jours), T réelle (jours), Écart (%). Valeurs réelles attendues : Mercure 88 j, Vénus 225 j, Terre 365 j, Mars 687 j.
Convertir T en années (T en jours ÷ 365,25) et r en unités astronomiques (r en millions de km ÷ 150). Calculer T² ÷ r³ pour chaque planète et vérifier que ce rapport vaut presque 1 pour les quatre planètes : c'est la troisième loi de Kepler.
Résultats attendus
Les quatre planètes apparaissent en orbites quasi circulaires, emboîtées autour du Soleil et tournant toutes dans le même sens. Mercure, la plus proche, complète une révolution en environ 88 jours ; Vénus en 225 jours ; la Terre en 365 jours ; et Mars, la plus éloignée, en environ 687 jours. Les périodes mesurées correspondent aux valeurs astronomiques avec un écart de quelques pour cent dû à l'intégration numérique d'Euler symplectique et à la durée limitée de la simulation. Lorsqu'on convertit T en années et r en unités astronomiques (Terre = 1 an, 1 ua), le rapport T²/r³ vaut presque exactement 1 pour les quatre planètes : c'est la troisième loi de Kepler, publiée en 1619. Ce résultat illustre que la même loi de la gravitation gouverne toutes les planètes du système solaire.
Questions scientifiques possibles
- Pourquoi les planètes les plus proches du Soleil tournent-elles plus vite que les plus lointaines ?
- Que se passerait-il si on supprimait le Soleil de la simulation ? Comment évolueraient les trajectoires des planètes ?
- Pourquoi le rapport T²/r³ est-il presque identique pour Mercure, Vénus, la Terre et Mars ?
- Pourquoi les orbites obtenues ne sont-elles pas parfaitement circulaires malgré une vitesse initiale fixée ?
- Comment pourrait-on utiliser la régularité de Kepler pour prédire la période d'une planète dont on connaît seulement la distance au Soleil ?
Explications scientifiques
Le système solaire est composé du Soleil et de huit planètes. Les quatre plus proches du Soleil — Mercure, Vénus, la Terre et Mars — sont appelées planètes telluriques car elles ont une surface rocheuse. Les quatre plus éloignées (Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune) sont des géantes gazeuses bien plus massives. Toutes les planètes tournent autour du Soleil grâce à la gravitation universelle décrite par Isaac Newton.
Le Soleil, par sa masse énorme ( 333 000 fois celle de la Terre ), attire chaque planète et la maintient sur une orbite quasi circulaire. Plus une planète est proche du Soleil , plus l'attraction gravitationnelle qu'elle subit est forte, et plus elle doit aller vite pour ne pas tomber dans le Soleil. Mercure file ainsi à 47 km/s , alors que Mars, plus lointaine, ne va qu'à 24 km/s . Plus une planète est éloignée , plus elle a un long chemin à parcourir et plus elle se déplace lentement : sa période de révolution est donc beaucoup plus longue.
La période passe de 88 jours pour Mercure à 687 jours pour Mars, soit presque 8 fois plus. L'unité astronomique (ua) vaut environ 150 millions de km (149,6 exactement), soit la distance moyenne Terre-Soleil. Mercure est à 0,39 ua, Vénus à 0,72 ua, la Terre à 1 ua et Mars à 1,52 ua. En 1619, Johannes Kepler a découvert une régularité étonnante, appelée aujourd'hui troisième loi de Kepler : pour toutes les planètes, le rapport T²/r³ est constant. Dans le cas général d'une orbite elliptique (comme celle de Mercure, sensiblement aplatie dans la réalité), r désigne le demi-grand axe de l'ellipse ; dans notre simulation, les orbites sont quasi circulaires et r est simplement la distance au Soleil.
Si l'on exprime T en années et r en unités astronomiques, ce rapport vaut 1 pour les quatre planètes telluriques comme pour les autres. La simulation reproduit cette régularité car elle applique la même loi de la gravitation à toutes les planètes : ce résultat illustre que la même physique de Newton gouverne tous les astres du système solaire.
Pour aller plus loin : Lois de Kepler (Wikipédia) donne un exposé accessible des trois lois avec les données du système solaire ; les ressources d'astronomie pour l'éducation de l'Observatoire de Paris proposent également des activités sur les orbites planétaires adaptées au collège et au lycée.
Extensions possibles
- Remplacer Mercure par Jupiter (318 M⊕, distance 778 millions de km, vitesse 13,1 km/s) et observer son influence sur les orbites des autres planètes
- Augmenter ou diminuer la masse du Soleil (par exemple ×2 ou ÷2) et observer comment les périodes des planètes évoluent
- Donner aux planètes des vitesses initiales légèrement différentes des vitesses circulaires théoriques pour observer des orbites elliptiques
- Remplacer le Soleil par une naine rouge (moins massive) et chercher la vitesse orbitale qui maintient la Terre en orbite stable
- Calculer le rapport T²/r³ pour les quatre planètes et le comparer aux valeurs des planètes externes (Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune) trouvées dans la documentation
Questions fréquentes
Pourquoi ne peut-on pas inclure les huit planètes du système solaire ?
La simulation accepte au maximum 5 corps simultanément. On peut donc modéliser le Soleil et 4 planètes seulement, ce qui suffit pour étudier les principes fondamentaux et la régularité de Kepler.
Comment placer précisément une planète à la bonne distance du Soleil ?
Faire glisser le corps avec la souris et surveiller le panneau « distances » en haut à droite, qui affiche en temps réel la distance entre tous les corps. L'indicateur d'échelle en bas à gauche aide aussi à estimer.
Pourquoi les angles initiaux sont-ils tous à -90° ?
Pour que toutes les planètes tournent dans le même sens autour du Soleil et que leur vitesse initiale soit perpendiculaire à la direction Soleil-planète, condition d'une orbite circulaire.
Pourquoi mes orbites se croisent-elles ou deviennent-elles instables ?
Les vitesses initiales doivent correspondre aux vitesses orbitales circulaires réelles (47,4 / 35,0 / 29,8 / 24,1 km/s). Une erreur de quelques km/s rend l'orbite elliptique ; une erreur trop grande peut faire échapper la planète ou la précipiter dans le Soleil.
Comment exprimer T² ÷ r³ en années² par ua³ ?
Convertir T en années (T en jours ÷ 365,25) et r en unités astronomiques (r en millions de km ÷ 150). Avec ces unités, le rapport vaut 1 pour la Terre et reste très proche de 1 pour toutes les autres planètes du système solaire.
Prêt à commencer ?
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