La transformée de Fourier est un outil mathématique fondamental qui permet de décomposer n’importe quel signal en une somme de sinusoïdes de différentes fréquences. La FFT (Fast Fourier Transform) est l’algorithme rapide qui permet aux smartphones de réaliser cette analyse en temps réel.
Observer expérimentalement la transformée de Fourier
Avec l’application FizziQ, la FFT est utilisée en coulisse par plusieurs instruments : fréquencemètre, tuner, spectrogramme.
Étapes :
- Ouvrir FizziQ et sélectionner l’instrument “Spectrogramme” ou “Spectre”
- Produire un son pur (diapason, sifflement) : une seule fréquence apparaît
- Produire un son complexe (voix, instrument) : plusieurs fréquences apparaissent
- Observer que les sons naturels sont composés d’une fréquence fondamentale et d’harmoniques
- Utiliser le synthétiseur pour créer des sons purs et vérifier leur spectre
Activités scientifiques sur ce thème
Prolongements possibles avec FizziQ : comprendre les harmoniques d’un instrument.
En savoir plus
Le théorème de Fourier :
Joseph Fourier a démontré en 1822 que toute fonction périodique peut s’écrire comme une somme (potentiellement infinie) de sinusoïdes. Cette décomposition révèle le “contenu fréquentiel” du signal.
Interprétation physique :
Un son musical est composé :
- D’une fréquence fondamentale f₀ qui détermine la hauteur perçue
- D’harmoniques (multiples de f₀) dont les amplitudes relatives déterminent le timbre
Un diapason produit un son quasi pur (surtout f₀). Un violon ou une voix contiennent de nombreuses harmoniques.
La FFT dans le smartphone :
L’algorithme FFT (Cooley-Tukey, 1965) réduit le temps de calcul de N² à N×log(N) opérations. C’est ce qui permet d’analyser le son en temps réel. FizziQ analyse typiquement 1024 ou 2048 échantillons à la fois.
Résolution et compromis :
Plus on analyse d’échantillons, meilleure est la résolution en fréquence, mais plus on perd en résolution temporelle. C’est le principe d’incertitude de Heisenberg appliqué au traitement du signal.
Formule
La transformée de Fourier d’un signal x(t) est :
X(f) = ∫ x(t) × e^(-2πift) dt
Pour un signal discret de N échantillons :
X(k) = Σ x(n) × e^(-2πikn/N) pour n = 0 à N-1
où :
- X(k) : amplitude complexe à la fréquence k×(fₑ/N)
- fₑ : fréquence d’échantillonnage
- N : nombre d’échantillons
Exemples d’application
- Le fréquencemètre de FizziQ utilise la FFT pour trouver la fréquence dominante
- Les égaliseurs audio modifient les composantes fréquentielles identifiées par FFT
- La compression MP3 utilise une variante de la FFT pour éliminer les fréquences inaudibles
- L’imagerie médicale (IRM) utilise la transformée de Fourier pour reconstruire les images
FAQ
Q : Pourquoi dit-on “rapide” (Fast) ? R : L’algorithme direct nécessite N² opérations. La FFT de Cooley-Tukey n’en nécessite que N×log(N). Pour 1024 échantillons : 1 million vs 10 000 opérations !
Q : Peut-on reconstituer le son original depuis la FFT ? R : Oui, grâce à la transformée inverse. L’information n’est pas perdue, juste représentée différemment.
Q : Pourquoi les basses fréquences sont-elles moins bien résolues ? R : Pour distinguer deux fréquences proches, il faut observer le signal assez longtemps. Les périodes basses étant longues, elles nécessitent plus de temps d’observation.
Concepts liés
Fréquence - Spectre sonore - Spectrogramme - Harmoniques - Échantillonnage - Analyse du signal