La machine d’Atwood relie deux masses m₁ et m₂ par un fil inextensible passant sur une poulie. Son accélération, a = g (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂), dilue la pesanteur : elle produit un mouvement lent, aisément mesurable, qui permet de vérifier la deuxième loi de Newton.
Observer expérimentalement la machine d’Atwood
Le montage tient en une poulie, un fil et deux masses. FizziQ intervient pour mesurer le mouvement, soit par analyse vidéo, soit par acquisition sonore du passage des masses.
Étapes :
- Monter la poulie en hauteur, passer le fil, accrocher deux masses proches (par exemple 100 g et 110 g) et mesurer précisément m₁ et m₂ à la balance
- Placer une règle graduée verticale dans le champ et filmer la descente avec le smartphone fixé sur un support
- Pointer la position de la masse descendante image par image dans le module d’analyse vidéo de FizziQ
- Tracer y en fonction du temps : la courbe doit être une parabole ; tracer v en fonction de t pour obtenir une droite dont le coefficient directeur est a
- Recommencer avec plusieurs couples de masses et tracer a en fonction de (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)
- Vérifier que le graphique est une droite dont le coefficient directeur donne g. Choisir une hauteur de chute donnant au moins une seconde de mouvement, afin de disposer d’une trentaine de points à 30 images par seconde
Activités scientifiques sur ce thème
- Machine d’Atwood : vérifier la 2ᵉ loi de Newton - mesurer l’accélération du système pour plusieurs couples de masses et en déduire g
- Chute libre : mesure de g
- Plan incliné de Galilée : d ∝ t²
En savoir plus
D’où vient la formule
Le raisonnement est un modèle du genre pour la classe de première. On isole d’abord chaque masse. Pour la masse descendante m₁ : m₁a = m₁g − T. Pour la masse montante m₂ : m₂a = T − m₂g. Le fil étant inextensible, les deux masses ont la même accélération en valeur absolue ; la poulie étant idéale (sans masse ni frottement), la tension T est la même de part et d’autre.
En additionnant les deux équations, T disparaît :
(m₁ + m₂) a = (m₁ − m₂) g
d’où a = g (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂). On peut ensuite revenir à T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂), qui est toujours comprise entre m₂g et m₁g : le fil ne « tire » ni autant que le poids le plus lourd, ni aussi peu que le plus léger.
Les deux cas limites qui valident le modèle
Si m₁ = m₂, alors a = 0 : le système reste en équilibre dans n’importe quelle position, ou continue à vitesse constante s’il a été lancé. Si m₂ = 0, alors a = g : on retrouve la chute libre. Vérifier ces deux limites est le premier réflexe à avoir devant toute formule.
Ce que l’expérience réelle ajoute au modèle
Trois écarts, à connaître pour interpréter honnêtement les résultats.
La poulie n’est ni sans masse ni sans frottement. Si elle a un moment d’inertie J et un rayon r, il faut aussi la mettre en rotation : le dénominateur devient (m₁ + m₂ + J/r²). Le terme J/r² joue le rôle d’une masse supplémentaire à accélérer, ce qui réduit a. Pour une poulie pleine homogène de masse M, J/r² = M/2. D’où la règle pratique : plus la poulie est légère et de petit rayon, plus le modèle simple est valable.
Les frottements dans l’axe. Ils opposent un couple résistant et abaissent encore a. Symptôme caractéristique : si l’on ne parvient pas à faire démarrer le système avec une petite différence de masse, c’est le frottement statique qui domine.
Le fil. Il doit être inextensible - sinon les deux masses n’ont pas la même accélération - et de masse négligeable, sinon la masse de fil de chaque côté change au cours du mouvement et l’accélération n’est plus constante.
Un bilan d’énergie équivalent
On peut retrouver le même résultat sans écrire de forces. Quand m₁ descend d’une hauteur h, m₂ monte de h : l’énergie potentielle du système varie de −(m₁ − m₂)gh, entièrement convertie en énergie cinétique ½(m₁ + m₂)v². On en tire v² = 2gh(m₁ − m₂)/(m₁ + m₂), soit v² = 2ah : le mouvement est bien uniformément accéléré avec la même valeur de a. La comparaison des deux méthodes est un bon exercice de terminale.
Le contexte historique
La machine a été conçue par le mathématicien anglais George Atwood (1745-1807) et décrite en 1784 dans son traité sur le mouvement rectiligne et rotatoire ; sa simplicité, et la clarté avec laquelle elle isole les principes mécaniques en jeu, en ont fait un instrument de base de l’enseignement de la physique. En 1784, chronométrer une chute libre est hors de portée : une bille lâchée de 2 m touche le sol en 0,64 s, et il n’existe pas d’horloge assez fine. Atwood contourne l’obstacle en ralentissant la chute au lieu d’accélérer la mesure. Sa machine, équipée d’une horloge à pendule et de plateaux amovibles, lui permet de vérifier que la distance parcourue croît comme t², que la vitesse croît comme t, et d’obtenir une valeur cohérente de g. C’est un exemple typique de progrès expérimental obtenu par un changement de dispositif plutôt que par un meilleur instrument.
Formule
Accélération du système, poulie et fil idéaux :
a = g (m₁ − m₂) / (m₁ + m₂)
Tension du fil :
T = 2 m₁ m₂ g / (m₁ + m₂)
Accélération en tenant compte de la poulie (moment d’inertie J, rayon r) :
a = g (m₁ − m₂) / (m₁ + m₂ + J/r²)
Équations horaires du mouvement (départ sans vitesse initiale) :
v = a t et h = ½ a t²
Vitesse après une descente de hauteur h, par le bilan d’énergie :
v = √(2 a h)
où :
- a : accélération commune aux deux masses (m·s⁻²)
- m₁ : masse descendante, la plus lourde (kg)
- m₂ : masse montante (kg)
- T : tension du fil (N)
- J : moment d’inertie de la poulie (kg·m²)
- r : rayon de la poulie (m)
- h : hauteur parcourue (m)
- g : intensité de la pesanteur, environ 9,81 m·s⁻²
Exemples d’application
- Avec m₁ = 110 g et m₂ = 100 g : a = 9,81 × 10/210 ≈ 0,47 m·s⁻², soit vingt fois moins que g. La descente d’un mètre dure alors t = √(2h/a) ≈ 2,1 s, parfaitement chronométrable.
- Avec m₁ = 200 g et m₂ = 100 g : a = 9,81 × 100/300 = 3,27 m·s⁻², soit g/3. La tension vaut T = 2 × 0,2 × 0,1 × 9,81 / 0,3 ≈ 1,31 N, bien comprise entre 0,98 N (poids de m₂) et 1,96 N (poids de m₁).
- Un ascenseur à contrepoids est une machine d’Atwood de grande taille : le contrepoids équilibre la cabine à demi-charge, de sorte que le moteur n’a plus qu’à fournir la différence, ce qui divise la puissance nécessaire par plusieurs.
- Un funiculaire à deux cabines reliées par un câble fonctionne sur le même principe : la cabine qui descend aide celle qui monte.
- Sur une poulie pleine de 50 g et de rayon 2 cm, J/r² = 25 g : avec m₁ = 110 g et m₂ = 100 g, l’accélération tombe de 0,47 à 0,42 m·s⁻², soit 11 % d’écart. Négliger la poulie n’est donc pas anodin pour des masses aussi voisines.
- Le même montage sert à mesurer un coefficient de frottement : en faisant glisser m₂ sur une table horizontale au lieu de la suspendre, l’accélération devient a = g(m₁ − μm₂)/(m₁ + m₂), d’où l’on tire μ.
FAQ
Q : Pourquoi ne pas mesurer g directement par une chute libre ? R : On peut le faire, mais la chute est très rapide : deux mètres se parcourent en 0,64 s, et une erreur de 0,05 s sur le chronométrage fausse g de plus de 15 %. La machine d’Atwood ralentit le mouvement d’un facteur choisi, sans changer la physique : la même erreur de chronométrage devient négligeable.
Q : Les deux masses ont-elles vraiment la même accélération ? R : Oui, en valeur absolue, à condition que le fil soit inextensible et ne glisse pas sur la poulie. C’est cette contrainte géométrique qui couple les deux équations. Les vecteurs accélération sont opposés : l’une descend, l’autre monte.
Q : Pourquoi trouve-t-on toujours un g trop petit ? R : Parce que toutes les imperfections vont dans le même sens. La masse de la poulie ajoute de l’inertie, ses frottements dissipent de l’énergie, la masse du fil aussi. Aucun de ces effets ne peut accélérer le système. Un g mesuré supérieur à 9,81 m·s⁻² signale donc une erreur de mesure ou de calcul, pas un montage particulièrement bon.
Q : La tension du fil est-elle égale au poids de la masse la plus lourde ? R : Non, et c’est une erreur fréquente. Si c’était le cas, m₁ serait en équilibre et n’accélérerait pas. La tension vaut 2m₁m₂g/(m₁ + m₂), toujours strictement comprise entre les deux poids.
Q : Que se passe-t-il si les deux masses sont égales ? R : L’accélération est nulle. Le système reste immobile où qu’on le place, et si on lui donne une impulsion, il continue à vitesse constante - jusqu’aux frottements près. C’est une bonne façon d’évaluer expérimentalement l’importance de ces frottements.
Concepts liés
Deuxième loi de Newton - Tension d’un fil - Poids - Poulie - Mouvement rectiligne uniformément accéléré - Moment d’inertie - Frottements - Conservation de l’énergie - Chute libre