Hafele-Keating (Expérience de)

L’expérience de Hafele-Keating, réalisée en 1971, a embarqué quatre horloges atomiques au césium dans des avions de ligne pour tester les deux relativités d’Einstein : la dilatation du temps liée à la vitesse fait retarder l’horloge, le décalage gravitationnel lié à l’altitude la fait avancer.

Observer expérimentalement l’expérience de Hafele-Keating

Les effets relativistes sont bien trop petits pour l’horloge d’un smartphone : ils sont de l’ordre de la nanoseconde, alors qu’un smartphone mesure au mieux la milliseconde, soit un million de fois plus grossièrement. On peut en revanche reproduire avec FizziQ la démarche expérimentale de Hafele et Keating - synchroniser des horloges, les séparer, les comparer au retour - et calculer numériquement les effets attendus.

Étapes :

• Synchroniser deux smartphones sur la même référence de temps, puis lancer sur chacun un chronomètre FizziQ au même instant, en déclenchant les deux simultanément.
• Séparer les deux appareils pendant plusieurs heures, l’un immobile en classe, l’autre emporté en voiture, en train ou à vélo, et enregistrer la vitesse avec le GPS de FizziQ.
• Comparer les deux chronomètres au retour et mesurer l’écart : il est de l’ordre de quelques dizaines de millisecondes, entièrement dû à la dérive des oscillateurs à quartz et non à la relativité.
• Calculer, à partir de la vitesse moyenne relevée par le GPS et de la durée du trajet, la dilatation du temps théorique en relativité restreinte : pour 100 km/h pendant 3 h, elle vaut environ 5×10⁻¹² s.
• Comparer cet écart théorique à la précision réelle du smartphone et conclure sur le type d’horloge nécessaire : seule une horloge atomique, stable à 10⁻¹³ près, permet l’expérience.

Activités scientifiques sur ce thème

• Vol parabolique et microgravité - Explorer les effets d’un vol sur les grandeurs physiques mesurées à bord, dans le prolongement de l’expérience embarquée de Hafele et Keating.
• Synchronisation d’horloges : vitesse du son - Mettre en pratique la synchronisation de deux appareils, élément clé du protocole de Hafele-Keating.

En savoir plus

Le protocole de 1971

Joseph C. Hafele, physicien à l’université Washington de Saint-Louis, et Richard E. Keating, astronome à l’Observatoire naval des États-Unis, embarquent quatre horloges atomiques au césium sur des vols de ligne ordinaires - ils achètent simplement des billets, y compris pour les horloges. Le voyage vers l’est dure environ 65 heures, dont 41 h de vol ; le voyage vers l’ouest, environ 80 heures, dont 49 h de vol. Au retour, les horloges sont comparées à celles restées au sol. L’ensemble du budget de l’expérience est resté modeste, ce qui en fait un cas d’école : un test de la relativité mené avec des moyens commerciaux.

Les deux effets, et pourquoi ils s’opposent

En relativité restreinte, une horloge en mouvement par rapport au référentiel de référence bat plus lentement. L’avion se déplaçant à environ 900 km/h, ses horloges retardent par rapport au sol. L’effet est proportionnel à v².

En relativité générale, une horloge placée plus haut dans un champ de gravitation, donc à potentiel gravitationnel plus élevé, bat plus vite. À 10 000 m d’altitude, les horloges de l’avion avancent par rapport à celles du sol. L’effet est proportionnel à la différence d’altitude.

Ces deux contributions sont du même ordre de grandeur pour un avion de ligne, ce qui rend l’expérience particulièrement instructive : le signe du résultat n’est pas donné d’avance.

L’asymétrie est-ouest, signature de l’expérience

Le point le plus souvent omis est que le référentiel pertinent n’est pas le sol, mais le référentiel géocentrique non tournant. Or le sol lui-même tourne avec la Terre, à environ 465 m/s à l’équateur. Un avion volant vers l’est ajoute sa vitesse à celle de la rotation terrestre : sa vitesse totale est plus grande, l’effet de relativité restreinte l’emporte, et l’horloge perd du temps. Un avion volant vers l’ouest vole à contresens de la rotation : sa vitesse dans le référentiel géocentrique est plus faible que celle de l’horloge restée au sol, l’effet gravitationnel domine, et l’horloge gagne du temps.

Les résultats publiés, en nanosecondes, sont les suivants. Vers l’est : −59 ± 10 ns mesurés, pour −40 ± 23 ns prédits. Vers l’ouest : +273 ± 7 ns mesurés, pour +275 ± 21 ns prédits. Le changement de signe entre les deux vols est la véritable signature de l’expérience. Une présentation qui n’annonce qu’un effet unique, « les horloges de l’avion retardent », est incomplète et fausse pour le vol vers l’ouest.

Ce que l’expérience a et n’a pas démontré

Compte tenu des barres d’erreur, notamment pour le vol vers l’est, la précision de 1971 était modeste. L’expérience n’a pas « prouvé » la relativité à elle seule ; elle en a confirmé les prédictions avec des horloges macroscopiques transportées, ce qu’aucune expérience antérieure n’avait fait. Elle a été refaite plusieurs fois depuis, notamment en 1996 pour son vingt-cinquième anniversaire avec une précision bien meilleure, et les mesures actuelles au moyen d’horloges optiques détectent le décalage gravitationnel pour une différence d’altitude de quelques centimètres seulement.

Le GPS, application quotidienne du même calcul

Les satellites GPS orbitent à 20 200 km d’altitude, à environ 3,9 km/s. Leurs horloges retardent d’environ 7 µs par jour du fait de leur vitesse, et avancent d’environ 45 µs par jour du fait de l’altitude. Le bilan net est d’environ +38 µs par jour. Sans correction, l’erreur de positionnement s’accumulerait à raison d’une dizaine de kilomètres par jour. La fréquence des horloges embarquées est donc délibérément décalée avant lancement pour compenser cet effet. Chaque utilisation d’un GPS de smartphone est ainsi une vérification permanente des deux relativités.

Ordres de grandeur

Effet mesuré à bord d’un vol commercial : quelques dizaines à quelques centaines de nanosecondes sur deux jours. Stabilité d’une horloge à césium en 1971 : environ 10⁻¹³. Vitesse de rotation de la surface terrestre à l’équateur : 465 m/s. Vitesse de croisière d’un avion de ligne : 250 m/s. Correction relativiste totale du GPS : 38 µs par jour, soit 4,4×10⁻¹⁰ en valeur relative. Effet cumulé sur une carrière : un pilote de ligne ayant totalisé 20 000 h de vol a vieilli d’environ 50 microsecondes de plus qu’un sédentaire resté au niveau de la mer, l’effet d’altitude l’emportant sur celui de la vitesse.

Formule

Dilatation du temps en relativité restreinte, pour une horloge de vitesse v :

Δt’ = Δt · √(1 − v²/c²)

où :

• Δt : durée mesurée dans le référentiel de référence (s)
• Δt’ : durée mesurée par l’horloge en mouvement (s)
• v : vitesse de l’horloge dans ce référentiel (m/s)
• c : célérité de la lumière dans le vide, 2,998×10⁸ m/s

Pour v ≪ c, ce qui est le cas d’un avion, l’écart relatif se simplifie :

Δt’/Δt − 1 ≈ − v²/(2c²)

Le signe négatif traduit le retard de l’horloge en mouvement.

Décalage gravitationnel en relativité générale, entre deux altitudes séparées de Δh dans un champ de pesanteur uniforme :

Δt’/Δt − 1 ≈ + g·Δh/c²

où :

• Δh : différence d’altitude, comptée positivement vers le haut (m)
• g : intensité du champ de pesanteur, 9,81 m/s²

Le signe positif traduit l’avance de l’horloge située en altitude.

Effet total sur une horloge embarquée, somme algébrique des deux contributions :

Δτ/τ ≈ g·Δh/c² − v²/(2c²)

Le résultat change de signe selon que le terme d’altitude ou le terme de vitesse l’emporte, ce qui explique l’asymétrie entre le vol vers l’est et le vol vers l’ouest.

Exemples d’application

• Pour un vol à 10 000 m d’altitude, le terme gravitationnel vaut g·Δh/c² = 9,81 × 10 000 / (3,00×10⁸)² ≈ 1,1×10⁻¹², soit une avance d’environ 3,9 ns par heure de vol.

• Pour ce même avion à 250 m/s, le terme de vitesse vaut v²/(2c²) = 250²/(2 × 9,0×10¹⁶) ≈ 3,5×10⁻¹³, soit un retard d’environ 1,3 ns par heure : ici l’altitude l’emporte, mais la vitesse de rotation terrestre modifie le bilan selon le sens du vol.

• Vers l’est, les horloges embarquées ont perdu 59 ns ; vers l’ouest, elles en ont gagné 273. Même avion, même altitude, effets opposés.

• Les horloges des satellites GPS sont réglées avant lancement sur 10,229 999 995 45 MHz au lieu de 10,23 MHz, afin qu’elles battent à la bonne cadence une fois en orbite.

• Un GPS non corrigé donnerait une erreur de position croissant d’environ 11 km par jour, ce qui le rendrait totalement inutilisable en moins d’une heure.

• Les horloges optiques modernes mesurent le décalage gravitationnel entre deux points séparés de 33 cm de dénivelé, transformant la relativité générale en outil de géodésie.

FAQ

Q : Pourquoi les horloges avancent vers l’ouest et retardent vers l’est ? R : Parce qu’il faut raisonner dans le référentiel géocentrique, dans lequel le sol tourne déjà à plusieurs centaines de mètres par seconde. Vers l’est, l’avion ajoute sa vitesse à celle de la rotation : le terme de vitesse domine, l’horloge retarde. Vers l’ouest, l’avion va à contresens et se déplace donc plus lentement que le laboratoire au sol : l’effet d’altitude l’emporte, l’horloge avance.

Q : Peut-on refaire cette expérience avec un smartphone ? R : Non. L’effet est de l’ordre de 100 nanosecondes, alors que l’oscillateur à quartz d’un smartphone dérive de plusieurs millisecondes par jour, soit dix mille fois plus. Seules des horloges atomiques, stables à 10⁻¹³ ou mieux, permettent la mesure. En revanche, on peut reproduire le protocole et calculer les effets attendus.

Q : Cette expérience teste-t-elle la relativité restreinte ou la relativité générale ? R : Les deux à la fois, et c’est tout son intérêt. Le terme de vitesse relève de la relativité restreinte, le terme d’altitude de la relativité générale. Comme ils sont du même ordre de grandeur et de signes opposés pour un avion de ligne, l’expérience ne peut être expliquée qu’en tenant compte des deux.

Q : Le paradoxe des jumeaux s’applique-t-il ici ? R : Oui, dans une version très atténuée. Les horloges ayant voyagé vers l’est sont revenues avec 59 ns de moins que celles restées au sol : elles ont réellement moins vieilli. La situation n’est pas symétrique parce que les horloges embarquées ont subi des accélérations et changé de potentiel gravitationnel, ce qui n’est pas le cas de celles restées au sol.

Q : Faut-il régler sa montre après un vol long-courrier ? R : Uniquement pour le fuseau horaire. L’effet relativiste sur un vol Paris-New York se compte en dizaines de nanosecondes, soit des dizaines de millions de fois moins qu’une seconde. Aucune montre, même de très haut de gamme, n’est capable de l’afficher.

Concepts liés

Relativité restreinte - Relativité générale - Dilatation du temps - Horloge atomique - Référentiel géocentrique - Décalage gravitationnel - GPS - Synchronisation - Paradoxe des jumeaux