Clepsydre et loi de Torricelli
Étudier l'écoulement d'une clepsydre en mesurant la masse d'eau recueillie au cours du temps avec la balance FizziQ.
Description détaillée
L'élève construit une clepsydre à partir d'une bouteille en plastique percée et mesure en temps réel la masse d'eau qui s'écoule à l'aide de la balance connectée FizziQ. Il observe que le débit diminue au cours du temps et que la courbe masse-temps n'est pas linéaire. En modélisant cette courbe, il découvre le théorème de Torricelli et comprend pourquoi les horloges à eau anciennes nécessitaient des formes de récipients spéciales pour mesurer le temps uniformément. FizziQ permet ici d'enregistrer en continu la masse d'eau recueillie via le module de balance connectée FizziQ Connect, puis d'exporter la courbe obtenue pour la modéliser dans un tableur.
Objectifs pédagogiques
- Mesurer l'évolution de la masse d'eau recueillie en fonction du temps à l'aide d'un capteur connecté
- Tracer et interpréter la courbe m(t) pour mettre en évidence la non-linéarité de l'écoulement
- Relier la vitesse d'écoulement à la hauteur d'eau par le théorème de Torricelli (v = √(2gh))
- Modéliser mathématiquement la courbe expérimentale et comparer au modèle théorique
- Identifier et analyser les sources d'écart entre théorie et expérience
Concepts scientifiques
Instruments et capteurs
Instruments scientifiques
- Balance connectée FizziQ
Capteurs
- Capteur de force (module FizziQ Connect)
Fonctionnalités FizziQ
- Export des données (CSV) — Exporte la courbe masse-temps enregistrée afin de la modéliser dans un tableur externe.
Matériel nécessaire
- Smartphone ou tablette avec l'application FizziQ
- Module FizziQ Connect avec capteur de force (balance)
- Bouteille en plastique (0,5 L ou 1 L) avec bouchon
- Pied de laboratoire avec pince et noix
- Cristallisoir ou grand bécher (récipient de collecte)
- Perceuse ou clou chauffé pour percer le bouchon
- Ruban adhésif
- Eau
- Règle graduée
- Ficelle (optionnel, pour suspendre la bouteille)
- Note : le protocole reste adaptable à tout autre outil d'acquisition de masse comparable.
Protocole expérimental
Préparer la clepsydre : percer un petit trou (2 à 3 mm de diamètre) dans le bouchon d'une bouteille en plastique de 0,5 L ou 1 L. Boucher temporairement le trou avec un morceau de ruban adhésif.
Installer le montage : retourner la bouteille et la fixer à un support (pied de laboratoire avec pince) de manière à ce que le bouchon percé soit dirigé vers le bas, au-dessus d'un récipient de collecte (cristallisoir ou bécher).
Placer la balance FizziQ : positionner le capteur de force (balance connectée FizziQ) sous le récipient de collecte. S'assurer que le capteur est stable et de niveau.
Connecter le capteur : ouvrir l'application FizziQ sur la tablette ou le smartphone. Connecter le module FizziQ Connect via Bluetooth. Sélectionner le capteur « Poids » (balance).
Tarer la balance : placer le récipient vide sur la balance et effectuer la tare (remise à zéro) pour ne mesurer que la masse d'eau recueillie.
Remplir la bouteille : remplir la bouteille d'eau jusqu'en haut (noter le volume initial). Le trou doit rester bouché pendant le remplissage.
Lancer l'acquisition : dans FizziQ, démarrer l'enregistrement des données en mode continu. Choisir une fréquence d'acquisition d'environ 1 point par seconde.
Démarrer l'écoulement : retirer le ruban adhésif pour libérer le trou et laisser l'eau s'écouler dans le récipient. Ne pas toucher au montage pendant toute la durée de l'expérience.
Observer et attendre : laisser l'eau s'écouler complètement. L'écoulement dure de deux à huit minutes environ, selon la taille du trou et le volume de la bouteille.
Arrêter l'acquisition : une fois la bouteille vide, stopper l'enregistrement dans FizziQ.
Analyser les données : afficher le graphique masse en fonction du temps dans FizziQ. Observer la forme de la courbe obtenue.
Exporter et modéliser : exporter les données au format CSV. Ouvrir le fichier dans un tableur pour réaliser une modélisation mathématique de la courbe m(t).
Résultats attendus
La courbe m(t) obtenue présente une allure caractéristique : elle croît rapidement au début de l'expérience (débit élevé quand la bouteille est pleine), puis sa pente diminue progressivement jusqu'à devenir quasi nulle lorsque la bouteille est presque vide. La courbe a une forme concave (courbure vers le bas) : c'est une portion de parabole, car m(t) suit une loi polynomiale du second degré en t tant que la bouteille peut être assimilée à un cylindre. Pour une bouteille de 0,5 L avec un trou de 2 à 3 mm, la vidange complète dure typiquement de 2 à 8 minutes : environ 2 minutes pour un trou de 3 mm, 4 à 5 minutes pour un trou de 2 mm, la tension superficielle pouvant encore allonger cette durée. Le calcul T = (S/s)·√(2h₀/g), corrigé d'un coefficient de décharge de 0,6 à 0,8, permet de prévoir la durée pour un montage donné. La masse finale recueillie doit correspondre approximativement à la masse d'eau initialement contenue (entre 400 et 500 g pour une bouteille de 0,5 L). On observe généralement un léger bruit de mesure dû aux gouttes qui tombent de façon discontinue, surtout en fin d'écoulement. L'écart avec le modèle théorique de Torricelli est typiquement de 5 à 15 %, principalement dû à la forme non cylindrique de la bouteille et aux effets de tension superficielle au niveau du trou.
Questions scientifiques possibles
- Pourquoi le débit d'écoulement diminue-t-il au cours du temps ? Quel lien avec la pression ?
- Quelle forme mathématique permet de modéliser au mieux la courbe m(t) obtenue expérimentalement ?
- Comment faudrait-il modifier la forme du récipient pour obtenir un écoulement à débit constant et donc une mesure uniforme du temps ?
- Que se passe-t-il si l'on double le diamètre du trou d'écoulement ? Le temps de vidange est-il divisé par deux ?
- Quelles sont les principales sources d'erreur dans cette expérience et comment pourrait-on les réduire ?
- En quoi cette expérience illustre-t-elle les limites des clepsydres antiques comme instruments de mesure du temps ?
Explications scientifiques
Analyse scientifique de la clepsydre La clepsydre est l'un des plus anciens instruments de mesure du temps. Son fonctionnement repose sur l'écoulement d'un fluide sous l'effet de la gravité. L'analyse physique de cet écoulement fait intervenir le théorème de Torricelli et la conservation de la masse.
Loi de Torricelli La vitesse d'écoulement de l'eau à travers l'orifice dépend de la hauteur d'eau h au-dessus du trou.
D'après le théorème de Torricelli, la vitesse de sortie vaut : v = √(2gh) où g ≈ 9,81 m/s² est l'accélération de la pesanteur et h la hauteur de la colonne d'eau.
Débit et masse recueillie Le débit volumique à travers l'orifice de section s est Q = s × v = s × √(2gh). Comme l'eau s'écoule, la hauteur h diminue, ce qui réduit progressivement le débit. C'est pourquoi la courbe m(t) n'est pas une droite : le débit ralentit au fur et à mesure que la bouteille se vide.
Modélisation mathématique En combinant la conservation de la masse avec la loi de Torricelli, on peut montrer que pour un récipient cylindrique de section S avec un orifice de section s, la hauteur d'eau évolue selon : h(t) = (√h₀ - (s/S) × √(g/2) × t)² où h₀ est la hauteur initiale. La masse recueillie dans le récipient suit donc une loi parabolique en fonction du temps. Le temps total de vidange T est donné par : T = (S/s) × √(2h₀/g)
Conséquence pour la mesure du temps Puisque le débit n'est pas constant, une clepsydre simple à écoulement libre ne mesure pas le temps de manière uniforme. Les Anciens avaient remarqué ce défaut et utilisaient des récipients à géométrie évasée (forme conique) pour compenser la diminution du débit et obtenir une échelle de temps plus régulière.
La modélisation mathématique permet de comprendre pourquoi et de calculer la forme optimale du récipient.
Sources d'erreur Les écarts entre le modèle théorique et les mesures expérimentales peuvent provenir de plusieurs facteurs : la tension superficielle au niveau de l'orifice (surtout pour les petits trous), la viscosité de l'eau, les turbulences à l'intérieur de la bouteille, la forme non parfaitement cylindrique de la bouteille en plastique, et la présence éventuelle de bulles d'air qui perturbent l'écoulement.
Pour aller plus loin : Simulation de la vidange d'un réservoir (Université du Mans) permet de comparer cylindre, cône et clepsydre à niveau linéaire | Théorème de Torricelli (Wikipédia) détaille la démonstration à partir du théorème de Bernoulli.
Extensions possibles
- Comparer l'écoulement pour différents diamètres de trou et vérifier que le temps de vidange varie comme l'inverse de la section de l'orifice (doubler le diamètre divise le temps par quatre)
- Utiliser des bouteilles de formes différentes (cylindrique, conique, évasée) et comparer les courbes m(t) obtenues
- Remplacer l'eau par un liquide plus visqueux (eau salée, eau sucrée) et observer l'effet sur le débit
- Réaliser l'expérience avec deux trous à des hauteurs différentes pour étudier l'effet de la position de l'orifice
- Concevoir une clepsydre « corrigée » en utilisant un entonnoir ou un récipient conique pour se rapprocher d'un écoulement linéaire
Questions fréquentes
La balance FizziQ affiche des valeurs nulles pendant l'acquisition, que faire ?
Ce problème peut survenir si le capteur n'est pas correctement calibré ou si la connexion Bluetooth est instable. Vérifiez que le module FizziQ Connect est bien appairé, effectuez une nouvelle tare, et relancez l'acquisition. Si le problème persiste, essayez de redémarrer l'application et le module.
La courbe obtenue est très bruitée, est-ce normal ?
Un certain bruit est normal, surtout en fin d'écoulement quand l'eau tombe goutte à goutte. Pour lisser la courbe, vous pouvez augmenter le pas de temps entre les mesures ou appliquer une moyenne glissante dans le tableur lors de l'analyse.
Le temps de vidange ne correspond pas au calcul théorique, pourquoi ?
Le modèle de Torricelli suppose un fluide parfait, un récipient cylindrique et un orifice idéal. En pratique, la bouteille en plastique n'est pas cylindrique, la tension superficielle freine l'écoulement au niveau du petit trou, et des turbulences se forment dans la bouteille. Un coefficient de décharge (typiquement 0,6 à 0,8) est souvent introduit pour corriger le modèle.
Quel diamètre de trou choisir pour l'expérience ?
Un trou de 2 à 3 mm de diamètre est idéal : assez grand pour un écoulement continu, assez petit pour que l'expérience dure suffisamment longtemps (quelques minutes) et permette une bonne résolution de la courbe. Pour une expérience plus longue, préférer un trou de 2 mm ou une bouteille de 1 L.
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