Loi des sinus
Utiliser la loi des sinus pour mesurer les longueurs d’un triangle
Comment mesurer une distance difficile à atteindre sans s’en approcher directement ?
Depuis des siècles, les géomètres utilisent des techniques de triangulation pour mesurer des distances à partir d’angles.
Dans cette activité, tu vas utiliser le théodolite de ton smartphone pour mesurer les angles d’un triangle réel et appliquer la loi des sinus pour calculer ses dimensions.
Résumé :
L'élève utilise le théodolite de FizziQ pour mesurer les angles entre trois points fixes dans la cour de récréation. Activité adaptée au lycée. En utilisant le théodolite, les élèves utilisent la loi des sinus pour mesurer les longueurs d'un triangle dans la cour de récréation.
Niveau :
Auteur :
Durée :
Lycée
Guillaume Lefranc
Objectif pédagogique :
- Comprendre l’utilisation pratique de la loi des sinus dans un triangle.
- Mesurer des angles à l’aide d’un théodolite numérique.
- Calculer des distances à partir de mesures indirectes.
- Relier un modèle mathématique à une situation réelle de mesure.
Concepts scientifiques :
Trigonométrie; Loi des sinus; Théodolite; Triangulation; Mesures indirectes
Capteurs :
- Magnétomètre
- Théodolite numérique (azimut)
Matériel :
Smartphone avec l'application FizziQ; Un espace ouvert avec trois points de référence visibles; Un mètre ruban ou un moyen de mesurer une distance; Matériel de dessin (papier règle rapporteur); Cahier d'expérience FizziQ
Protocole expérimental :
1. Dans la cour de récréation, identifie trois endroits facilement identifiables et relativement éloignés les uns des autres (des arbres, un poteau, des cages de but, l’entrée de la cour, …)
2. Place toi à un de ces points et mesure l’azimut (dans l’outil théodolite) entre ce point et les 2 autres points ; sauve ces 2 observations dans ton cahier
3. Refais les mêmes mesures pour chacun des 2 autres points et sauve tes résultats
4. Mesure avec tes pas (ou un mètre) une des trois distances du triangle et note le résultat
5. Sur une feuille de papier, trace un schéma correspondant au triangle que tu as choisi ; reporte les angles pour chaque sommet comme la différence entre les 2 mesures prises
6. Applique la loi des sinus et complète ton schéma avec les distances et les angles calculés ; prend ton schéma en photos
7. Note tes résultats et les photos correspondantes dans ton cahier de résultats et partage le avec ton professeur
Résultats attendus
Les angles mesurés entre les trois points permettent de reconstruire un triangle représentatif de la situation réelle.
En utilisant la loi des sinus, il devient possible de calculer les longueurs des côtés non mesurés directement.
Les longueurs calculées sont proches des distances réelles, avec un écart possible dû aux erreurs de mesure des angles ou de la distance initiale.
Cette expérience montre qu’il est possible de déterminer des distances indirectement à partir d’angles mesurés.
Questions scientifiques :
- Comment peut-on déterminer une distance sans la mesurer directement ?
- Pourquoi la précision des angles est-elle essentielle dans la triangulation ?
- Comment la loi des sinus permet-elle de calculer les côtés d’un triangle ?
- Quelles sont les sources d’erreur possibles lors des mesures d’azimut ?
Analyse scientifique
La loi des sinus est un théorème fondamental de trigonométrie qui établit que dans tout triangle, les rapports entre les longueurs des côtés et les sinus des angles opposés sont égaux: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), où a, b, c sont les longueurs des côtés et A, B, C les angles opposés respectivement. Cette relation permet de déterminer les dimensions d'un triangle lorsqu'on connaît certains de ses éléments, notamment dans des situations où certaines mesures directes sont impossibles. Le théodolite numérique de FizziQ utilise les capteurs d'orientation du smartphone (gyroscope et magnétomètre) pour mesurer l'azimut, c'est-à-dire l'angle horizontal entre une direction et le nord magnétique. Pour chaque sommet du triangle, l'élève mesure l'azimut vers les deux autres points, puis calcule l'angle au sommet par différence de ces deux valeurs. Une fois les trois angles déterminés, il suffit de mesurer directement l'un des côtés pour pouvoir calculer les deux autres en appliquant la loi des sinus: si l'on connaît le côté a et tous les angles, alors b = a×sin(B)/sin(A) et c = a×sin(C)/sin(A). Cette technique de triangulation est historiquement la base de la cartographie et de la géodésie. Avant l'avènement du GPS, c'était la méthode principale pour établir des cartes précises. Elle reste fondamentale pour comprendre les principes de localisation. Les sources d'erreur incluent la précision limitée du théodolite numérique (±1-2°), les imprécisions dans la mesure directe du côté de référence, et les éventuelles erreurs de calcul. Cette activité illustre parfaitement l'utilité pratique de la trigonométrie dans la résolution de problèmes concrets.
Variantes possibles
- Réaliser la triangulation sur un terrain plus grand pour tester l’influence des distances.
- Comparer les distances calculées avec des mesures directes au mètre ruban.
- Réaliser un schéma numérique du triangle et vérifier les résultats avec un logiciel de géométrie.
Activités et ressources associées
- Mesure de la hauteur d'un arbre : Mesure de la hauteur d'un arbre en utilisant le théodolite et la trigonométrie.
- Triangulation : Mesurer la distance entre 2 points par triangulation
- Le basket : Trajectoire d'un ballon de basket lors d'un tir
- Plan incliné : Étudier la décomposition du poids en composantes parallèle et perpendiculaire sur un plan incliné en utilisant l'accéléromètre et l'inclinomètre du smartphone.
FAQ
Q: Qu'est-ce que le trigonométrie ?
R: Cette relation permet de déterminer les dimensions d'un triangle lorsqu'on connaît certains de ses éléments, notamment dans des situations où certaines mesures directes sont impossibles.
Q: Quels capteurs de FizziQ sont utilisés dans cette activité ?
R: FizziQ donne accès à plus de 50 types de mesures via les capteurs intégrés du smartphone : accéléromètre, microphone, magnétomètre, baromètre, GPS, capteur de luminosité et caméra. L'application est gratuite et fonctionne sans connexion internet.
Q: Quelles sont les principales sources d'erreur ou limites de cette expérience ?
R: Les sources d'erreur incluent la précision limitée du théodolite numérique (±1-2°), les imprécisions dans la mesure directe du côté de référence, et les éventuelles erreurs de calcul.