Loi des sinus
Utiliser la loi des sinus pour mesurer les longueurs d’un triangle
Niveau :
Lycée
Auteur :
Guillaume Lefranc
Objectif pédagogique :
Cette activité permet aux élèves de mesurer des distances inaccessibles en utilisant les principes de la trigonométrie. Elle applique concrètement la loi des sinus dans un contexte de terrain.
Concepts abordés :
Trigonométrie; Loi des sinus; Théodolite; Triangulation; Mesures indirectes
Description de l'activité :
L'élève utilise le théodolite de FizziQ pour mesurer les angles entre trois points fixes dans la cour de récréation. Après avoir mesuré directement une des distances du triangle formé l'élève applique la loi des sinus pour calculer les autres côtés puis réalise un schéma à l'échelle et vérifie la cohérence de ses résultats.
Matériel requis :
Smartphone avec l'application FizziQ; Un espace ouvert avec trois points de référence visibles; Un mètre ruban ou un moyen de mesurer une distance; Matériel de dessin (papier règle rapporteur); Cahier d'expérience FizziQ
Eclairage scientifique
La loi des sinus est un théorème fondamental de trigonométrie qui établit que dans tout triangle, les rapports entre les longueurs des côtés et les sinus des angles opposés sont égaux: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), où a, b, c sont les longueurs des côtés et A, B, C les angles opposés respectivement. Cette relation permet de déterminer les dimensions d'un triangle lorsqu'on connaît certains de ses éléments, notamment dans des situations où certaines mesures directes sont impossibles. Le théodolite numérique de FizziQ utilise les capteurs d'orientation du smartphone (gyroscope et magnétomètre) pour mesurer l'azimut, c'est-à-dire l'angle horizontal entre une direction et le nord magnétique. Pour chaque sommet du triangle, l'élève mesure l'azimut vers les deux autres points, puis calcule l'angle au sommet par différence de ces deux valeurs. Une fois les trois angles déterminés, il suffit de mesurer directement l'un des côtés pour pouvoir calculer les deux autres en appliquant la loi des sinus: si l'on connaît le côté a et tous les angles, alors b = a×sin(B)/sin(A) et c = a×sin(C)/sin(A). Cette technique de triangulation est historiquement la base de la cartographie et de la géodésie. Avant l'avènement du GPS, c'était la méthode principale pour établir des cartes précises. Elle reste fondamentale pour comprendre les principes de localisation. Les sources d'erreur incluent la précision limitée du théodolite numérique (±1-2°), les imprécisions dans la mesure directe du côté de référence, et les éventuelles erreurs de calcul. Cette activité illustre parfaitement l'utilité pratique de la trigonométrie dans la résolution de problèmes concrets.