Injection translunaire
Reproduire la manœuvre d'injection translunaire d'Artémis II en simulation et trouver la vitesse de la trajectoire de retour libre Terre-Lune-Terre.
Résumé :
L'élève configure dans la simulation Orbites et gravitation la Terre au centre, une sonde de masse négligeable à 50 000 km en dessous de la Terre avec une vitesse initiale horizontale, et la Lune à droite à 385 000 km lancée à 1,022 km/s vers le haut. Il fait varier la vitesse de la sonde et observe quatre régimes de trajectoire possibles : retombée vers la Terre, orbite haute, échappée, ou retour libre passant près de la Lune. Activité adaptée au lycée, niveau Première.
Niveau :
Auteur :
Durée :
Lycée
FizziQ
45-60
Objectif pédagogique :
- Identifier les paramètres pertinents (position, vitesse, masse) d'un problème à trois corps gravitationnel
- Mesurer l'effet de la vitesse initiale sur la trajectoire d'une sonde dans le système Terre-Lune
- Vérifier qu'une trajectoire de retour libre existe dans une fenêtre étroite de vitesse
- Comparer la vitesse expérimentale à la valeur théorique d'un transfert de Hohmann
- Comprendre le principe de l'injection translunaire utilisé par Apollo et Artémis
Concepts scientifiques :
- Loi de Newton de la gravitation universelle (F = G·m₁·m₂/r²)
- Problème à trois corps
- Trajectoire de retour libre (free return trajectory)
- Injection translunaire (TLI)
- Transfert de Hohmann
- Vitesse de libération
- Sphère d'influence gravitationnelle
- Sensibilité aux conditions initiales et fenêtre de tir
Capteurs :
- Simulation Orbites et gravitation de FizziQ Web
Matériel :
Protocole expérimental :
Ouvrir la simulation Orbites et gravitation dans FizziQ Web (Expérimenter → Simulations → Orbites et gravitation).
Régler l'échelle de distance sur environ 1 000 km/pixel pour visualiser tout le système Terre-Lune, et l'échelle de temps sur 5 minute par image.
Configurer le corps 1 — Terre : masse = 1 M⊕ (Terre), vitesse = 0 km/s, angle = 0°. Le laisser au centre de l'écran.
Ajouter le corps 2 — Sonde (cliquer sur l'onglet +) : masse = sonde spatiale, vitesse initiale = 4,3 km/s, angle = 0° (vers la droite). Glisser la sonde à 40 000 km à droite de la Terre..
Ajouter le corps 3 — Lune : masse = 0,012 M⊕ (Lune), vitesse = 1 km/s, angle = -90° (vers le haut). Glisser la Lune à 385 000 km à droite de la Terre avec les trois corps alignés.
Vérifier les distances dans le panneau en haut à droite : sonde-Terre ≈ 40 000 km et Lune-Terre ≈ 385 000 km.
Centrer la vue sur la Terre (bouton 1 dans la zone Centrage) pour suivre la sonde dans le référentiel terrestre.
Cliquer sur Démarrer et observer la trajectoire de la sonde. Que fait la sonde ?
En faisant varier l'angle puis la vitesse, créer une trajectoire qui permet de passer près de la lune et de revenir sur terre sans activer le réacteur.
Pour chaque essai, cliquer sur IMG pour archiver une capture de la trajectoire dans le cahier d'expérience, en notant la vitesse testée.
Une fois une trajectoire de retour libre identifiée (la sonde contourne la Lune et revient vers la Terre), cliquer sur REC pour enregistrer les positions x et y de la sonde au cours du temps.
Laisser la simulation tourner jusqu'au retour de la sonde près de la Terre, puis cliquer à nouveau sur REC pour exporter les données dans le cahier d'expérience.
Dans le cahier d'expérience, créer une grandeur calculée : distance sonde-Terre = √(x_sonde² + y_sonde²). Tracer cette distance en fonction du temps.
Comparer à la vitesse de transfert de Hohmann et conclure.
Résultats attendus
L'élève constate que la vitesse initiale de la sonde doit se situer dans une fenêtre étroite, de l'ordre de 3,7 à 3,8 km/s, pour qu'elle atteigne le voisinage de la Lune. En dessous de cette valeur, la sonde décrit une orbite elliptique qui retombe vers la Terre. Au-dessus, elle s'éloigne définitivement du système. Pour une vitesse précise (autour de 3,75 km/s, à ajuster selon la position de la Lune au démarrage), la sonde contourne la Lune et revient à proximité de la Terre, dessinant une figure caractéristique en huit ou en boucle large. La précision requise sur la vitesse est typiquement de quelques dizaines de mètres par seconde, soit moins de 1 % d'erreur. La durée totale du trajet est d'environ 6 à 8 jours simulés. Le résultat est sensible à la position initiale de la Lune au moment du lancement, ce qui illustre la nécessité d'une fenêtre de tir précise lors des missions réelles. La méthode d'intégration numérique d'Euler symplectique du simulateur introduit une légère dérive d'énergie qui peut être visible sur des durées longues.
Questions scientifiques :
- Pourquoi la fenêtre de vitesse permettant un retour libre est-elle aussi étroite ?
- Que se passe-t-il si on lance la sonde au mauvais moment (Lune en haut, en bas, à gauche) ?
- Comment la masse de la Lune influence-t-elle la trajectoire de retour ? Que donnerait une « Terre sans Lune » ?
- Pourquoi la trajectoire de retour libre a-t-elle été indispensable au sauvetage d'Apollo 13 ?
- Comment la vitesse expérimentale s'écarte-t-elle de la valeur théorique du transfert de Hohmann, et pourquoi ?
- À quoi servirait, en pratique, la propulsion d'un vaisseau si la trajectoire de retour libre est gratuite ?
- En lançant la sonde à angle 180° (rétrograde), pourquoi la Lune ne parvient-elle plus à dévier la trajectoire ? Comparer la vitesse relative au survol dans les deux cas (prograde et rétrograde) pour expliquer.
- Si la sonde rétrograde finit par revenir près de la Terre, peut-on dire qu'il s'agit d'un retour libre au sens d'Apollo et d'Artémis ? Quel est le rôle attendu de la Lune dans une vraie mission ?
Analyse scientifique
L'injection translunaire (TLI, Trans-Lunar Injection) est la manœuvre qui fait passer un vaisseau d'une orbite terrestre à une trajectoire interceptant la Lune. Elle a été utilisée par toutes les missions Apollo (1968-1972) et par Artémis II en avril 2026. Le mouvement obéit à la loi de la gravitation universelle de Newton : F = G·m₁·m₂/r², avec G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².
Dans le système Terre-Lune-sonde, chaque corps subit la somme vectorielle des forces exercées par les deux autres : c'est un problème à trois corps, qui n'admet pas de solution analytique générale. Le mouvement de la sonde est dominé par la gravité terrestre près de la Terre, puis par la gravité lunaire lorsqu'elle entre dans la sphère d'influence de la Lune (environ 66 000 km autour de celle-ci).
Pour une orbite circulaire autour de la Terre à la distance r, la vitesse théorique vaut v_circ = √(G·M_T/r). À r = 40 000 km, cette vitesse vaut 3,16 km/s La vitesse de libération à cette même distance est v_lib = √(2·G·M_T/r) ≈ 4,46 km/s. La vitesse d'injection translunaire se situe nécessairement entre ces deux valeurs : suffisamment grande pour atteindre l'orbite lunaire, mais pas assez pour s'échapper définitivement du puits de potentiel terrestre.
En ignorant la masse de la Lune, un transfert de Hohmann amène une sonde de r₁ = 40 000 km à r₂ = 385 000 km le long d'une ellipse de demi-grand axe a = (r₁ + r₂)/2 = 217 500 km. La vitesse au périgée vaut alors v_p = √(G·M_T·(2/r₁ − 1/a)) ≈ 4,25 km/s. C'est l'ordre de grandeur recherché expérimentalement.
La présence de la Lune modifie ce résultat. Lorsque la sonde s'approche, l'attraction lunaire courbe sa trajectoire : la sonde contourne la Lune et est renvoyée vers la Terre. Cette trajectoire de retour libre (free return trajectory) ne nécessite aucune correction de vitesse, ce qui en fait une trajectoire de sécurité essentielle pour les missions habitées.
Le résultat dépend très fortement de la vitesse initiale et de la position de la Lune au moment du lancement. Une variation de 50 m/s peut transformer un retour libre en collision avec la Lune ou en éjection vers l'espace interplanétaire. C'est ce qui définit la fenêtre de tir d'une mission lunaire : il faut lancer le vaisseau à un instant précis pour que la Lune soit au bon endroit lors du survol.
C'est précisément cette propriété qui a sauvé l'équipage d'Apollo 13 en avril 1970 : après l'explosion d'un réservoir d'oxygène, le module de service ne pouvait plus assurer la mise en orbite lunaire. La trajectoire ayant été calculée comme un retour libre, la gravité de la Lune a renvoyé naturellement le vaisseau vers la Terre. Aujourd'hui, Artémis II suit le même principe par sécurité.
Variantes possibles
- Comparer prograde et rétrograde : reprendre la vitesse trouvée pour le retour libre prograde, puis relancer en angle 180° (rétrograde) avec la même vitesse. Observer la grande boucle inverse, le survol rapide de la Lune sans déviation, et le retour de la sonde vers la Terre uniquement par son ellipse naturelle. Montrer que dans ce cas la Lune ne joue plus son rôle de déflecteur.
- Modifier la masse de la Lune (la doubler, la diviser par dix) et observer comment la fenêtre de vitesse pour le retour libre change
- Reproduire la configuration de l'article de blog (Lune fixe, satellite à 36 000 km) et comparer la vitesse trouvée à celle de la configuration animée
- Ajouter le Soleil comme quatrième corps pour observer une perturbation gravitationnelle sur la trajectoire
- Tester l'effet d'un retard ou d'une avance de quelques heures sur le lancement (changer l'angle initial de la Lune) pour matérialiser la fenêtre de tir
Activités et ressources associées
Période lunaire — Mesurer la période de révolution de la Lune autour de la Terre (27,3 jours) avec la simulation Orbites et Gravitation de FizziQ Web.
Satellite météo — Mettre en orbite géostationnaire un satellite à 36 000 km avec la simulation Orbites et Gravitation de FizziQ Web.
Fronde gravitationnelle — Étudier la fronde gravitationnelle d'une sonde spatiale survolant Saturne en mouvement avec la simulation Orbites et Gravitation de FizziQ Web.
Problème à trois corps — Simuler trois soleils en interaction gravitationnelle pour observer le chaos déterministe avec la simulation Orbites et Gravitation de FizziQ Web.
Pour aller plus loin
7 expériences avec un smartphone pour comprendre les voyages spatiaux — Article de blog FizziQ qui présente sept expériences couvrant l'apesanteur, le décollage, l'atterrissage, les orbites, l'injection translunaire, les lois de Kepler et la fronde gravitationnelle.
Simulation orbites et gravitation dans FizziQ Web : guide d'utilisation complet — Documentation officielle du module de simulation : configuration des corps célestes, échelles, intégration numérique, conditions d'orbite circulaire et activités pédagogiques recommandées.
FAQ
Q: Pourquoi la sonde a-t-elle une masse si faible (sonde spatiale ≈ 1000 kg) ?
R: La masse de la sonde est négligeable devant celles de la Terre (5,97 × 10²⁴ kg) et de la Lune (7,35 × 10²² kg). Elle n'influence quasiment pas le mouvement des deux gros corps, ce qui simplifie l'analyse : la sonde est attirée mais n'attire pas significativement.
Q: Quelle valeur de vitesse vais-je trouver exactement ?
R: La valeur exacte dépend de la position initiale précise de la Lune et de la sonde, et de la méthode numérique du simulateur. Elle se situe entre 3,7 et 3,8 km/s. L'objectif n'est pas de trouver une valeur unique mais de comprendre la sensibilité du résultat aux conditions initiales.
Q: Pourquoi animer la Lune alors que l'article de blog la laisse fixe ?
R: Avec une Lune fixe, la trajectoire ne dépend que de la vitesse de la sonde. Avec une Lune animée, il faut aussi tenir compte du moment où la sonde arrivera dans le voisinage de la Lune : c'est le problème réel de la fenêtre de tir spatiale, comme pour Apollo ou Artémis.
Q: Pourquoi la trajectoire ne se referme-t-elle pas exactement sur la Terre ?
R: Le système Terre-Lune-sonde est un problème à trois corps. La trajectoire de retour libre n'est jamais exactement périodique : la sonde repasse près de la Terre mais pas en un point identique. Dans une mission réelle, une petite manœuvre de correction est ajoutée à l'arrivée.
Q: Le simulateur tient-il compte des frottements atmosphériques ?
R: Non, le modèle est purement gravitationnel et ponctuel. Il n'y a ni atmosphère, ni rotation propre des corps, ni effets relativistes. C'est cohérent avec la physique du voyage interplanétaire dans le vide spatial.