Pendule simple
Découvrir que la période d'un pendule dépend de sa longueur mais pas de l'amplitude, et vérifier la formule T = 2π√(L/g) avec la simulation Pendule de FizziQ Web.
Selon la légende, Galilée aurait découvert l'isochronisme du pendule en observant les oscillations d'un lustre dans la cathédrale de Pise. Il remarqua que, quelle que soit l'amplitude des oscillations, la période restait la même. Cette propriété remarquable est à la base des horloges à pendule, inventées par Christiaan Huygens en 1656. Mais de quoi dépend cette période ? La simulation Pendule de FizziQ Web te permet de faire varier la longueur du fil et l'angle initial pour répondre à cette question. Tu vas découvrir la formule T = 2π√(L/g), vérifier que la période ne dépend pas de l'amplitude (pour les petits angles), et explorer ce qui se passe quand l'angle devient grand — une situation où la formule approchée ne fonctionne plus !
Summary :
L'élève utilise la simulation Pendule de FizziQ Web pour mesurer la période des oscillations en faisant varier la longueur du fil, puis l'angle initial. Il vérifie que T ne dépend pas de l'amplitude (petits angles), trace T² en fonction de L pour découvrir la relation T = 2π√(L/g), et explore la limite de l'approximation des petits angles pour les grands écarts.
Level :
Author:
Author:
Lycée
FizziQ
35
Educational objective:
- Mesurer la période d'un pendule simple pour différentes longueurs
- Vérifier l'isochronisme des petites oscillations (T indépendant de l'amplitude)
- Vérifier la relation T = 2π√(L/g) en traçant T² en fonction de L
- Déterminer g à partir de la pente du graphique T²(L)
- Explorer les limites de l'approximation des petits angles
Scientific concepts:
- Pendule simple
- Isochronisme des petites oscillations
- Période T = 2π√(L/g)
- Approximation des petits angles (sin θ ≈ θ)
- Accélération de la pesanteur g
- Accélération tangentielle et centripète
Material :
- Simulation Pendule de FizziQ Web
Material :
- Ordinateur, tablette ou smartphone avec FizziQ Web
Experimental protocol:
Ouvre la simulation Pendule dans FizziQ Web (Expérimenter → Simulations → Pendule).
Partie 1 — Influence de la longueur : fixe l'angle initial à 10° (petit angle). Règle la longueur à 0,25 m.
Sélectionne l'enregistrement de l'angle en fonction du temps. Lance la simulation avec REC. Enregistre quelques oscillations complètes.
Dans le cahier d'expérience, mesure la période T (temps entre deux passages au même angle dans le même sens). Note la valeur.
Répète pour les longueurs 0,50 m, 0,75 m, 1,00 m, 1,50 m et 2,00 m. Note T pour chaque longueur.
Crée un tableau : Longueur L (m), Période T (s), T² (s²). Trace T² en fonction de L. Est-ce une droite passant par l'origine ?
La pente de T²(L) vaut 4π²/g. Calcule g et compare avec 9,81 m/s².
Partie 2 — Influence de l'amplitude : fixe la longueur à 1,00 m. Mesure la période pour des angles initiaux de 5°, 10°, 20°, 30°, 45°, 60° et 90°.
Note T pour chaque angle. Pour quels angles la période est-elle quasiment identique ? À partir de quel angle la période augmente-t-elle visiblement ?
Conclusion : T = 2π√(L/g) est une excellente approximation pour les petits angles (< 20°). Pour les grands angles, la période augmente car la simulation utilise l'équation complète du pendule, sans l'approximation sin θ ≈ θ.
Scientific analysis
Partie 1 : T augmente avec la longueur. Pour θ = 10° : T ≈ 1,00 s (L = 0,25 m), 1,42 s (0,50 m), 1,74 s (0,75 m), 2,01 s (1,00 m), 2,46 s (1,50 m), 2,84 s (2,00 m). Le graphique T²(L) est une droite de pente 4π²/g ≈ 4,02 s²/m, donnant g ≈ 9,81 m/s². Partie 2 : Pour L = 1 m, la période est quasi constante de 5° à 20° (T ≈ 2,01 s). À 45°, T ≈ 2,08 s (+3,5 %). À 90°, T ≈ 2,36 s (+17 %). L'isochronisme n'est valable que pour les petites oscillations.
Summary :
- Si tu doubles la longueur du pendule, la période double-t-elle ?
- Pourquoi la masse du pendule n'intervient-elle pas dans la formule de la période ?
- À partir de quel angle l'approximation des petits angles cesse-t-elle d'être raisonnable ?
- Comment Huygens a-t-il utilisé le pendule pour construire la première horloge précise ?
- La période d'un pendule serait-elle différente sur la Lune ? Sur Jupiter ?
Scientific analysis
Le pendule simple est un modèle : une masse ponctuelle au bout d'un fil inextensible et sans masse, oscillant sans frottement. La seule force (en dehors de la tension du fil) est le poids, dont la composante tangentielle vaut -mg sin θ.
Pour les petits angles (θ < 20°), sin θ ≈ θ (en radians). L'équation du mouvement devient θ̈ = -(g/L) × θ, identique à celle d'un oscillateur harmonique. La solution donne T = 2π√(L/g), indépendante de l'amplitude.
Cette indépendance de la période par rapport à l'amplitude s'appelle l'isochronisme des petites oscillations. C'est la propriété qui rend les pendules d'horloge si utiles : même si l'amplitude diminue (par frottement), l'horloge garde le temps.
Pour les grands angles, sin θ ≠ θ et l'approximation n'est plus valable. La période augmente avec l'amplitude. La simulation FizziQ Web utilise l'équation exacte du pendule (sans l'approximation), ce qui permet d'observer cette déviation.
La formule T = 2π√(L/g) montre que la période ne dépend pas de la masse du pendule. Elle ne dépend que de la longueur et de g. C'est pourquoi le pendule a été utilisé historiquement pour mesurer g avec précision.
En traçant T² en fonction de L, on linéarise la relation : T² = (4π²/g) × L. La pente de la droite donne directement 4π²/g, d'où l'on déduit g.
FAQ
- Utiliser le pendule simulé pour « mesurer » g sur différentes planètes (si la simulation le permet) en comparant les périodes
- Tracer l'accélération centripète en fonction du temps et identifier les moments où elle est maximale (point le plus bas)
- Comparer la période simulée avec celle d'un vrai pendule fait avec le smartphone suspendu à un fil
- Tracer le portrait de phase (vitesse angulaire vs angle) pour les petites et grandes oscillations et observer la différence
FAQ
Q: Comment mesurer précisément la période sur le graphique ?
R: Mesure le temps de 5 ou 10 oscillations complètes et divise par le nombre d'oscillations. C'est plus précis que de mesurer une seule oscillation.
Q: La simulation tient-elle compte de l'approximation des petits angles ?
R: Non ! C'est justement l'intérêt : la simulation résout l'équation exacte du pendule (sin θ et non θ). Cela permet d'observer que la période augmente pour les grands angles, ce que la formule T = 2π√(L/g) ne prédit pas.
Q: Pourquoi le pendule ne s'arrête-t-il pas dans la simulation ?
R: La simulation ne modélise pas de frottements par défaut. Le pendule oscille indéfiniment avec la même amplitude, ce qui correspond au modèle idéal sans dissipation d'énergie.