Constante de raideur
Déterminer la constante de raideur d'un ressort en mesurant la période d'oscillation d'un système masse-ressort avec l'accéléromètre du smartphone.
Quand on suspend un objet à un ressort et qu'on le laisse osciller, la période du mouvement dépend de la masse de l'objet et de la raideur du ressort. Cette relation fondamentale, T = 2π√(m/k), permet de déterminer la constante de raideur k si l'on connaît la masse et que l'on mesure la période. Dans cette expérience, le smartphone lui-même sert de masse oscillante : fixé à un ressort, il oscille verticalement tandis que son accéléromètre enregistre les oscillations avec une grande précision. L'application calcule automatiquement la période par autocorrélation du signal d'accélération. Cette expérience est l'une des plus populaires dans l'enseignement de la physique avec smartphone. Elle illustre parfaitement comment un capteur embarqué peut remplacer un équipement de laboratoire traditionnel. Que ce soit dans un laboratoire scolaire ou à la maison, un simple ressort et un téléphone suffisent pour explorer les lois fondamentales des oscillations.
Summary :
L'élève fixe son smartphone à un ressort suspendu, le fait osciller verticalement et enregistre l'accélération avec FizziQ. En mesurant la période d'oscillation et en connaissant la masse du téléphone, il calcule la constante de raideur du ressort grâce à la relation T = 2π√(m/k). L'expérience est répétée avec différentes masses pour vérifier la cohérence du résultat. L'élève découvre ainsi le mouvement harmonique simple et la loi de Hooke de manière quantitative.
Level :
Author:
Author:
Lycée
FizziQ
30 minutes
Educational objective:
- Mesurer la période d'oscillation d'un système masse-ressort à l'aide de l'accéléromètre
- Calculer la constante de raideur d'un ressort à partir de la période et de la masse
- Vérifier expérimentalement la relation T = 2π√(m/k)
- Identifier un signal sinusoïdal sur un graphique d'accélération en fonction du temps
- Analyser l'effet de l'amortissement sur l'amplitude des oscillations
Scientific concepts:
- Constante de raideur
- Période d'oscillation
- Mouvement harmonique simple
- Loi de Hooke (F = -kx)
- Autocorrélation
- Pulsation propre (ω = 2π/T)
- Amortissement
Material :
- Accéléromètre (accélération linéaire, sans gravité)
Material :
- Smartphone ou tablette avec FizziQ
- Un ressort (type ressort de laboratoire ou Slinky)
- Un support pour le téléphone (rouleau en carton, élastique, vis)
- Une balance pour peser le smartphone
- Un support solide pour suspendre le ressort (poignée de porte, potence)
- Masses supplémentaires (optionnel)
Experimental protocol:
Construis un support pour ton smartphone : prends un rouleau en carton (type rouleau de papier toilette), découpe deux fentes oblongues sur les côtés pour y glisser le téléphone, et fixe une vis au sommet pour accrocher le ressort. Sécurise le téléphone avec un élastique.
Pèse ton smartphone (avec sa coque et le support) à l'aide d'une balance. Note cette masse m en kilogrammes.
Ouvre l'application FizziQ et sélectionne l'instrument Accéléromètre (accélération linéaire, sans la gravité).
Accroche le ressort à un support solide (poignée de porte, tringle, potence de laboratoire). Suspends le téléphone dans son support au bout du ressort.
Tire doucement le téléphone vers le bas (quelques centimètres suffisent) puis relâche-le. Attention à ne pas tirer trop fort pour que le téléphone ne touche pas le sol en remontant !
Lance l'enregistrement dans FizziQ pendant que le système oscille. Enregistre au moins 10 oscillations complètes.
Arrête l'enregistrement et observe le graphique de l'accélération en fonction du temps. Tu devrais voir une belle sinusoïde.
Mesure la période T en comptant le nombre de pics sur un intervalle de temps donné, ou utilise la fonction de mesure de période de FizziQ.
Calcule la constante de raideur avec la formule : k = (2π/T)² × m. Compare avec la valeur indiquée par le fabricant du ressort si disponible.
Recommence l'expérience en ajoutant une masse supplémentaire (par exemple un petit livre attaché au téléphone). La période devrait augmenter. Vérifie que k reste constant.
Scientific analysis
Le graphique d'accélération montre une oscillation sinusoïdale régulière dont l'amplitude décroît lentement à cause de l'amortissement. La période T est constante (indépendante de l'amplitude, tant que celle-ci reste petite) et typiquement comprise entre 0,3 s et 1,5 s selon le ressort et la masse. Pour un ressort de laboratoire standard (k ≈ 10 à 50 N/m) et un smartphone de 200 g, on obtient des périodes de l'ordre de 0,4 à 0,9 s. En ajoutant des masses, on observe que T² est proportionnel à m, confirmant la relation T = 2π√(m/k). La valeur de k calculée reste constante (aux incertitudes près) quelle que soit la masse utilisée, validant le modèle du mouvement harmonique simple.
Summary :
- Pourquoi la période d'oscillation ne dépend-elle pas de l'amplitude du mouvement ?
- Que se passe-t-il si l'on tire le ressort très fortement : la relation reste-t-elle valable ?
- Comment expliquer la lente décroissance de l'amplitude des oscillations ?
- Peut-on utiliser cette méthode pour mesurer une masse inconnue si k est connu ?
- Quelle est la différence entre mettre deux ressorts en série et en parallèle sur la période d'oscillation ?
Scientific analysis
Le mouvement harmonique simple (MHS) est un mouvement périodique où la force de rappel est proportionnelle au déplacement. C'est le modèle fondamental des oscillations en physique, décrit par la loi de Hooke : F = -kx.
L'accéléromètre du smartphone mesure l'accélération linéaire à chaque instant. Pour un MHS, l'accélération est sinusoïdale et en opposition de phase avec le déplacement : a(t) = -ω²A·cos(ωt), où ω = 2π/T est la pulsation propre.
La période d'oscillation est donnée par T = 2π√(m/k). Cette relation montre que la période ne dépend que de la masse et de la constante de raideur, et non de l'amplitude des oscillations (tant que celles-ci restent petites).
En réarrangeant cette formule, on obtient k = (2π/T)² × m = 4π²m/T². Connaissant la masse du smartphone et la période mesurée, on accède directement à la constante de raideur.
La méthode d'autocorrélation utilisée pour déterminer la période consiste à calculer la corrélation du signal avec lui-même décalé dans le temps. Le premier maximum de cette fonction (après le pic à décalage nul) correspond précisément à la période T.
Cette méthode est plus robuste que la simple lecture des pics car elle moyenne sur l'ensemble du signal et réduit l'effet du bruit. La précision typique est de l'ordre de 1% sur la mesure de la période.
En traçant T² en fonction de m pour plusieurs masses, on obtient une droite dont la pente vaut 4π²/k. Cette représentation linéaire permet une détermination graphique précise de k.
L'amortissement observé (décroissance de l'amplitude) est dû aux frottements de l'air et aux pertes internes dans le ressort. Il n'affecte pas significativement la période tant qu'il reste faible.
FAQ
- Tracer T² en fonction de m pour plusieurs masses et vérifier la linéarité ; la pente donne k
- Comparer la constante de raideur obtenue avec la méthode statique (mesure de l'allongement sous une force connue)
- Étudier l'amortissement en mesurant la décroissance de l'amplitude au cours du temps
- Mettre deux ressorts en série ou en parallèle et vérifier les formules de composition des raideurs
- Utiliser un Slinky comme ressort pour obtenir des oscillations très lentes et spectaculaires
FAQ
Q: Pourquoi utiliser l'accélération sans g plutôt qu'avec g ?
R: L'accéléromètre 'avec g' mesure la pesanteur en plus de l'accélération du mouvement. L'accélération 'sans g' (accéléromètre linéaire) soustrait la gravité, ce qui donne un signal centré sur zéro, plus facile à analyser.
Q: Mon signal n'est pas une belle sinusoïde, il y a des oscillations rapides superposées.
R: Le téléphone vacille probablement autour d'autres axes en plus de l'oscillation verticale. Tire le téléphone tout droit vers le bas sans rotation et relâche-le proprement.
Q: Peut-on utiliser cette méthode pour mesurer une masse inconnue ?
R: Oui ! Si k est connu (calibré au préalable), on peut déduire m = k(T/2π)². C'est le principe de la balance inertielle, utilisée sur la Station Spatiale Internationale.
Q: L'amplitude diminue très vite et je n'ai que quelques oscillations.
R: Le ressort est probablement trop amorti ou le support absorbe l'énergie. Utilise un ressort métallique plutôt qu'un élastique et fixe-le à un support rigide.