Roulement cylindre
Mesurer l'accélération angulaire et linéaire d'un cylindre roulant sur un plan incliné pour étudier le moment d'inertie et la conversion d'énergie.
Quand un cylindre roule sur un plan incliné, il accélère moins vite qu'un objet glissant sans frottement. Pourquoi ? Parce qu'une partie de l'énergie potentielle se convertit en énergie cinétique de rotation, en plus de l'énergie cinétique de translation. L'accélération d'un cylindre plein roulant est a = (2/3)g sin θ, soit seulement les deux tiers de ce qu'elle serait en glissant. Pour un cylindre creux, c'est encore moins : a = (1/2)g sin θ, car son moment d'inertie est plus grand. Dans cette expérience, le gyroscope du smartphone mesure la vitesse angulaire du cylindre pendant qu'il roule, tandis que l'accéléromètre mesure l'accélération linéaire. La comparaison des deux permet de calculer le moment d'inertie et de vérifier la condition de roulement sans glissement.
Summary :
L'élève fixe son smartphone sur un cylindre et le laisse rouler sur un plan incliné. Le gyroscope mesure la vitesse angulaire tandis que l'accéléromètre enregistre l'accélération linéaire. En comparant l'accélération mesurée avec la valeur théorique g sin θ, l'élève détermine le moment d'inertie du cylindre et vérifie la condition de roulement sans glissement (v = Rω). L'expérience illustre la répartition de l'énergie entre translation et rotation.
Level :
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Lycée
FizziQ
30 minutes
Educational objective:
- Mesurer simultanément l'accélération linéaire et la vitesse angulaire d'un objet en roulement
- Vérifier la condition de roulement sans glissement (v = Rω)
- Calculer le moment d'inertie à partir des données expérimentales
- Comprendre la répartition de l'énergie entre translation et rotation
- Comparer les accélérations théoriques et expérimentales pour différentes géométries
Scientific concepts:
- Moment d'inertie
- Énergie cinétique de rotation
- Roulement sans glissement
- Accélération angulaire
- Théorème de l'énergie cinétique
- Conversion d'énergie potentielle en énergie cinétique
Material :
- Gyroscope (vitesse angulaire)
- Accéléromètre (accélération linéaire)
Material :
- Smartphone ou tablette avec FizziQ (ou une application équivalente comme phyphox permettant l'acquisition des données du gyroscope d'un smartphone)
- Un plan incliné (planche avec rainure ou gouttière)
- Un cylindre (bouteille, rouleau, tube) pour fixer le smartphone
- Du ruban adhésif ou des élastiques
- Un mètre ruban
Experimental protocol:
Construis un plan incliné avec une rainure ou une gouttière pour guider le cylindre. Un angle de 5° à 15° donne de bons résultats.
Fixe solidement ton smartphone sur un cylindre (bouteille, rouleau, tube) à l'aide de ruban adhésif ou d'élastiques. Assure-toi qu'il est bien centré.
Ouvre FizziQ et sélectionne les instruments Gyroscope (vitesse angulaire) et Accéléromètre (accélération linéaire).
Place le cylindre en haut du plan incliné. Lance l'enregistrement.
Lâche le cylindre et laisse-le rouler librement jusqu'en bas du plan.
Arrête l'enregistrement. Observe les graphiques de vitesse angulaire ω(t) et d'accélération a(t).
La vitesse angulaire devrait croître linéairement avec le temps (accélération angulaire constante) : ω = αt.
Vérifie la condition de roulement sans glissement : v = Rω, soit a = Rα, où R est le rayon du cylindre.
Calcule le moment d'inertie I à partir du rapport entre l'accélération mesurée et g sin θ : a = g sin θ / (1 + I/mR²).
Compare la valeur expérimentale du moment d'inertie avec la valeur théorique : I = ½mR² pour un cylindre plein, I = mR² pour un cylindre creux.
Scientific analysis
La vitesse angulaire croît linéairement avec le temps, confirmant une accélération angulaire constante. L'accélération mesurée pour un cylindre plein est environ 2/3 de g sin θ. Le rapport v/(Rω) est proche de 1, confirmant le roulement sans glissement. Le moment d'inertie mesuré est cohérent avec la valeur théorique (typiquement à 5-10% près). Un cylindre creux descend plus lentement qu'un cylindre plein de même rayon, à cause de son moment d'inertie plus élevé. Les irrégularités du plan et les vibrations peuvent introduire du bruit dans les mesures.
Summary :
- Pourquoi un cylindre plein descend-il plus vite qu'un cylindre creux de même masse et même rayon ?
- Que se passe-t-il si le frottement est insuffisant pour assurer le roulement sans glissement ?
- Pourquoi le moment d'inertie dépend-il de la distribution de masse et non seulement de la masse totale ?
- Comment vérifier expérimentalement que le roulement se fait sans glissement ?
- Si l'on fait la course entre une sphère et un cylindre de même rayon, lequel gagne ?
Scientific analysis
Le moment d'inertie I caractérise la résistance d'un corps à la mise en rotation, de la même façon que la masse caractérise la résistance à la mise en translation. Pour un cylindre plein I = ½mR², pour un tube creux I = mR², pour une sphère pleine I = (2/5)mR².
L'énergie cinétique totale d'un objet qui roule est la somme de l'énergie de translation (½mv²) et de l'énergie de rotation (½Iω²). Pour un cylindre plein, un tiers de l'énergie cinétique est dans la rotation.
La condition de roulement sans glissement v = Rω lie la vitesse de translation à la vitesse de rotation. Elle impose que le point de contact du cylindre avec le plan soit momentanément immobile.
Cette condition n'est possible que grâce au frottement statique. Sans frottement, le cylindre glisserait au lieu de rouler, et toute l'énergie serait convertie en translation.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique avec roulement, on obtient l'accélération a = g sin θ / (1 + I/(mR²)). Pour un cylindre plein (I = ½mR²), cela donne a = (2/3)g sin θ.
Pour un cylindre creux (I = mR²), a = (1/2)g sin θ. Pour une sphère pleine (I = (2/5)mR²), a = (5/7)g sin θ. Plus le moment d'inertie est grand, plus l'accélération est faible.
Cette expérience est remarquable car elle permet de mesurer le moment d'inertie d'un objet sans équipement de laboratoire sophistiqué, uniquement avec un smartphone et un plan incliné.
La comparaison entre cylindre plein et cylindre creux illustre de manière frappante le rôle de la distribution de masse par rapport à l'axe de rotation.
FAQ
- Faire la course entre un cylindre plein et un cylindre creux de même rayon : le plein gagne toujours
- Comparer avec une sphère (I = 2/5 mR²) qui descend plus vite que le cylindre plein
- Varier l'angle du plan et vérifier que le rapport a/(g sin θ) reste constant
- Étudier la transition roulement/glissement sur une surface peu adhérente
- Enregistrer la position en fonction du temps (par analyse vidéo) et vérifier que x ∝ t²
FAQ
Q: Le téléphone ne tourne pas autour du bon axe.
R: La vitesse angulaire mesurée dépend de l'orientation du téléphone sur le cylindre. L'axe de rotation doit correspondre à l'un des axes du gyroscope (x, y ou z). Repère lequel donne les valeurs les plus grandes.
Q: L'accélération n'est pas constante.
R: Vérifie que le plan est bien rectiligne et que le cylindre ne dérape pas. Des irrégularités du plan ou un démarrage brusque peuvent perturber la mesure.
Q: Pourquoi un cylindre plein descend-il plus vite qu'un tube creux ?
R: Le cylindre plein a un moment d'inertie I = ½mR², tandis que le tube creux a I = mR². Le tube creux stocke proportionnellement plus d'énergie en rotation, il lui en reste moins pour la translation.