Cicloide
Cicloide
Etude expérimentale de la cycloïde
Depuis le XVIIe siècle, la cycloïde fascine les mathématiciens et les physiciens par ses propriétés remarquables. Cette courbe apparaît lorsqu’un point fixé sur une roue roule sans glisser sur une surface plane. Elle a été étudiée par des scientifiques comme Blaise Pascal et Christiaan Huygens pour ses propriétés liées aux trajectoires et aux mouvements mécaniques. Dans la vie quotidienne, chaque roue de vélo ou de voiture produit en réalité des cycloïdes, même si ces trajectoires ne sont pas visibles directement à l’œil nu. Grâce aux outils numériques modernes et à l’análisis de vídeo, il est aujourd’hui possible d’enregistrer ces mouvements et de reconstruire leurs trajectoires avec précision. Esta actividad propose d’utiliser une vidéo réelle afin d’observer expérimentalement la forme d’une cycloïde. Elle permet de relier une observation concrète à une modélisation mathématique. Elle constitue également une illustration claire de la composition d’un mouvement de rotation et de translation.
Learning objectives:
El alumno estudia la trajectoire d'un point situé sur le bord d'une roue de vélo en mouvement à l'aide du module d'análisis cinemático de FizziQ. Actividad adaptada al liceo.
Guillaume Lefranc
Autor:
Duración:
15 minutos
Lo que harán los estudiantes:
'- Identifier expérimentalement une trajectoire cycloïdale à partir d’une vidéo réelle
- Mesurer la hauteur maximale d’une cycloïde
- Déterminer la période spatiale d’une trajectoire cycloïdale
- Comprendre la composition d’un mouvement de rotation et de translation
- Comparer différentes trajectoires obtenues selon la position du point étudié
Conceptos científicos:
'- Cycloïde
- Mouvement composé (rotation et translation)
- Roulement sans glissement
- Périodicité spatiale
- Paramétrisation des trajectoires
- Rayon de rotation
- Trochoïde
- Cinématique plane
Sensores:
'- Caméra (analyse d’une vidéo)
What is required:
Smartphone con la aplicación FizziQ; Vidéo d'un vélo en mouvement ou utilisation de la vidéo 'Cycloïde' de la bibliothèque FizziQ; Cahier d'expérience pour l'analyse des résultats
Procedimiento experimental:
1. Un point sobre une roue de vélo décrit une figure appelée cycloïde. Avec l'outil cinématique nous étudions cette courbe
2. Représente-toi un point sobre la roue d’un vélo qui avance à vitesse constante y sans glissement, y dessine sobre une feuille de papier la trayectoria de ce point
3. Dans la rue, prends une courte vidéo d’un vélo qui passe. Fais bien attention à être le más perpendiculaire possible à la trayectoria du vélo para limiter les effets de perspective. Tu peux igualmente utiliser el vídeo appelée Cycloïde que tu trouveras en les vidéos cinématiques de FizziQ
4. Dans FizziQ, va en l’onglet outils y ouvre « Etude cinématique ». Elige « vidéo » y selecciona el vídeo
5. Détermine l'échelle en considérant que le rayon de la roue es égal à 1 mètre
6. Réalise ensuite le pointage de un point sobre le cercle de la roue para registrar les positions de ce point durant le temps
7. ¿Qué es la hauteur maximale atteinte ? la courbe est-elle périodique y qué es sa période ? de quels paramètres dépendent ces grandeurs ?
8. Vuelve a empezar l’experimento en prenant un point sobre le rayon y qui ne touche pas la route. Compara les deux courbes
9. Que devient la courbe si on remonte jusqu'au centre de la roue ?
10. Organise les données en tu cuaderno y ajoute des commentaires
Resultados esperados:
La trajectoire d’un point situé sur le bord de la roue apparaît sous forme d’une succession d’arcs présentant des pointes au niveau du sol. Cette trajectoire est périodique et sa forme correspond à celle d’une cycloïde. La hauteur maximale mesurée est proche de deux fois le rayon de la roue. La distance horizontale entre deux pointes successives correspond à une période spatiale constante.
Lorsque le point étudié est déplacé vers l’intérieur de la roue, la trajectoire obtenue devient plus arrondie et ne touche plus le sol. Cette trajectoire correspond à une trochoïde raccourcie. Lorsque le point étudié correspond au centre de la roue, la trajectoire devient une droite horizontale.
Des erreurs expérimentales peuvent apparaître en raison de la perspective, de la résolution de la vidéo ou de l’imprécision du pointage manuel.
Preguntas científicas:
'- Pourquoi la trajectoire d’un point sur le bord d’une roue présente-t-elle des pointes au niveau du sol ?
- Comment la hauteur maximale dépend-elle du rayon de la roue ?
- Pourquoi la trajectoire devient-elle plus arrondie lorsque le point étudié est déplacé vers le centre ?
- Pourquoi le centre de la roue suit-il une trajectoire rectiligne ?
- Comment vérifier expérimentalement que le roulement se fait sans glissement ?
- Quels facteurs expérimentaux peuvent modifier la forme apparente de la trajectoire ?
Explicaciones científicas:
La cycloïde es une courbe mathématique décrite par un point fixé sobre la circonférence de un cercle qui roule sans glisser sobre une droite horizontale. Paramétriquement, para un cercle de rayon r, elle s'exprime par: x(t) = r(t - sin t) y y(t) = r(1 - cos t). Cette courbe possède plusieurs propriétés remarquables: sa hauteur maximale es égale à 2r (deux fois le rayon du cercle) y sa période horizontale es égale à 2πr. Historiquement, elle a fasciné les mathématiciens comme Pascal y Huygens para ses propriétés de brachistochrone (courbe de descente la más rapide) y de tautochrone (temps de descente indépendant du point de départ). L'outil d'análisis cinemático de FizziQ permet de vérifier expérimentalement ces propriétés théoriques en suivant point par point la trayectoria réelle de un point sobre une roue. Cuando le point de suivi es déplacé vers l'intérieur de la roue (sur un rayon), la courbe obtenue devient une cycloïde raccourcie (ou trochoïde). Au centre de la roue, el movimiento devient une simple translation rectiligne uniforme. Este experimento illustre parfaitement la composition de un mouvement de rotation y de translation, concept fondamental en cinématique.
Actividades de ampliación:
'- Utiliser des roues de tailles différentes afin d’étudier l’influence du rayon sur la période spatiale.
- Comparer les trajectoires obtenues pour différentes vitesses de déplacement.
- Étudier une roue présentant un léger glissement afin d’observer les écarts con respecto a la cycloïde idéale.
- Utiliser une roue marquée avec plusieurs points pour observer simultanément différentes trajectoires.
- Réaliser une simulation numérique et comparer les résultats expérimentaux et théoriques.
Preguntas frecuentes:
Q: ¿Qué es le cycloïde ?
R: La cycloïde est une courbe mathématique décrite par un point fixé sur la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite horizontale.
Q: ¿Cómo l'acelerómetro du smartphone est-il utilisé dans esta actividad ?
R: L'acelerómetro MEMS du smartphone mesure l'accélération selon trois axes (x, y, z). FizziQ affiche ces données en tiempo real sous forme de graphiques, permettant d'enregistrer et d'analyser précisément les mouvements étudiés.
Q: ¿Cómo intégrer esta actividad dans un cours de physique au lycée ?
R: Esta actividad s'inscrit dans le programme de mécanique du lycée. Elle peut être réalisée en TP (1h), en classe inversée ou à la maison. FizziQ permet un travail en autonomie avec un simple smartphone.