Accélération centripète
Vérifier la relation a = ω²·R en tournant sur soi-même avec un smartphone tenu à bout de bras.
As-tu déjà ressenti cette force qui te pousse vers l'extérieur quand tu tournes rapidement sur un manège ou dans un virage en voiture ? Cette sensation est liée à l'accélération centripète, une grandeur fondamentale du mouvement circulaire.
En 1659, Christiaan Huygens fut le premier à formuler mathématiquement la relation entre l'accélération centripète, la vitesse de rotation et le rayon du cercle décrit. Cette découverte a permis à Newton de comprendre pourquoi la Lune reste en orbite autour de la Terre.
Dans cette activité, tu vas devenir toi-même l'expérience : en tenant ton smartphone à bout de bras et en tournant sur toi-même, tu vas mesurer directement l'accélération centripète grâce à l'accéléromètre. Tu pourras alors vérifier si la célèbre formule a = ω²·R donne le bon résultat.
C'est une expérience simple en apparence, mais riche en enseignements : elle illustre comment un capteur de smartphone peut transformer ton corps en laboratoire de physique. Tu découvriras aussi les sources d'erreur liées à l'expérimentation réelle et l'importance de la rigueur dans le protocole de mesure.
Résumé :
L'élève tourne sur lui-même en tenant le smartphone vertical à bout de bras et enregistre l'accélération selon l'axe X avec FizziQ. En chronométrant le temps nécessaire pour effectuer trois tours, il calcule la vitesse angulaire ω, puis compare la valeur théorique a = ω²·R avec la moyenne de l'accélération mesurée. Cette expérience permet de vérifier expérimentalement la loi de l'accélération centripète et d'en comprendre les paramètres.
Nivel :
Autor:
Autor:
1re–Supérieur
FizziQ
30
Objectif pédagogique :
- Mesurer l'accélération centripète à l'aide de l'accéléromètre du smartphone.
- Calculer la vitesse angulaire ω à partir du nombre de tours et du temps mesuré.
- Vérifier expérimentalement la relation a = ω²·R.
- Analyser les sources d'écart entre la valeur théorique et la valeur expérimentale.
- Interpréter un graphique d'accélération en fonction du temps.
Concepts scientifiques :
- Accélération centripète
- Vitesse angulaire ω
- Mouvement circulaire uniforme
- Période et fréquence de rotation
- Relation a = ω²·R = v²/R
- Référentiel non galiléen
- Force centripète
Capteurs :
- Accéléromètre (composante Z)
Matériel :
- Smartphone ou tablette avec FizziQ ou une application équivalente pour mesurer l'accélération comme Phyphox ou Physics Toolbox
- Un mètre ruban ou une règle pour mesurer la longueur du bras
- Un espace dégagé pour tourner librement
- Cahier d'expérience FizziQ
Protocole expérimental :
1. Ouvre l'application FizziQ sur ton smartphone.
2. Dans le menu Mesures, sélectionne l'accéléromètre et choisis la composante Accélération X (axe horizontal quand le smartphone est placé verticalement).
3. Mesure la longueur de ton bras tendu depuis l'axe de rotation (ton corps) jusqu'au centre du smartphone. Note cette valeur R en mètres (typiquement entre 0,60 m et 0,80 m).
4. Tiens le smartphone verticalement, écran face à toi, bras tendu horizontalement. L'axe X du smartphone est alors dirigé selon le rayon du cercle que tu vas décrire.
5. Appuie sur le bouton d'enregistrement de FizziQ pour lancer l'acquisition des données.
6. Tourne régulièrement sur toi-même en gardant le bras bien tendu et horizontal. Effectue exactement 3 tours complets à vitesse constante.
7. Arrête l'enregistrement une fois les 3 tours terminés.
8. Sur le graphique de l'accélération dans ton cahier, note le temps total t en secondes de rotation. Calcule la période T = t / 3, puis la vitesse angulaire ω = 2π / T (en rad/s).
10. Calcule la valeur théorique de l'accélération centripète : a_th = ω² × R.
11. Dans FizziQ, affiche le graphique de l'accélération X en fonction du temps. Identifie la zone correspondant à la rotation régulière (en excluant les phases de démarrage et d'arrêt).
12. La moyenne est affichée en appuyant sur le bouton Statistiques.
13. Compare la valeur expérimentale de l'accélération moyenne avec la valeur théorique a_th = ω² × R. Calcule l'écart relatif entre les deux valeurs.
14. Consigne tes résultats, calculs et observations dans ton cahier d'expériences FizziQ avec des captures d'écran du graphique.
Résultats attendus
L'accélération mesurée selon l'axe Z présente une valeur relativement constante pendant la phase de rotation régulière, encadrée par des phases transitoires au démarrage et à l'arrêt.
Pour une période de rotation de 2 s et un bras de 0,70 m, l'accélération centripète théorique vaut environ 6,9 m/s². La valeur moyenne mesurée par l'accéléromètre doit être du même ordre de grandeur.
Des fluctuations autour de la valeur moyenne sont visibles sur le graphique, dues aux irrégularités de la rotation et aux mouvements parasites du bras et de la main.
L'écart relatif entre la valeur théorique et la valeur expérimentale est typiquement compris entre 5 % et 20 %, selon la régularité de la rotation et la précision du chronométrage.
Les phases de démarrage et d'arrêt montrent une accélération croissante puis décroissante, ce qui confirme que l'accélération centripète dépend de la vitesse de rotation.
Questions scientifiques :
- Que se passe-t-il si on double la vitesse de rotation ? L'accélération est-elle doublée ou quadruplée ?
- Comment varie l'accélération centripète si on raccourcit le bras (smartphone plus près du corps) ?
- Pourquoi l'accéléromètre ne mesure-t-il pas la composante gravitationnelle sur l'axe Z quand le smartphone est vertical ?
- Quelles sont les principales sources d'erreur dans cette expérience et comment les réduire ?
- Quel lien existe-t-il entre l'accélération centripète ressentie dans un manège et celle mesurée ici ?
- Pourquoi est-il important de tourner à vitesse constante pour vérifier la formule ?
Analyse scientifique
Lorsqu'un objet se déplace en cercle à vitesse constante, il subit une accélération dirigée vers le centre du cercle, appelée accélération centripète. Cette accélération n'augmente pas la vitesse de l'objet, mais modifie constamment la direction de son vecteur vitesse pour maintenir la trajectoire circulaire.
La relation fondamentale qui relie l'accélération centripète a, la vitesse angulaire ω et le rayon R du cercle est : a = ω² × R. On peut aussi l'exprimer en fonction de la vitesse linéaire v : a = v² / R, puisque v = ω × R.
Dans cette expérience, le smartphone tenu à bout de bras décrit un cercle de rayon R (la longueur du bras). L'axe X de l'accéléromètre, perpendiculaire à l'écran, est orienté radialement, c'est-à-dire selon la direction centre du cercle – smartphone. Il mesure donc directement la composante centripète de l'accélération.
La vitesse angulaire ω se déduit du temps mis pour effectuer un nombre entier de tours : si 3 tours sont effectués en un temps t, alors la période est T = t/3 et ω = 2π/T = 6π/t, exprimé en radians par seconde.
Pour un bras de longueur R = 0,70 m et une période T = 2 s (un tour toutes les 2 secondes), on obtient ω = π rad/s ≈ 3,14 rad/s, et l'accélération théorique vaut a = ω² × R = 9,87 × 0,70 ≈ 6,9 m/s². Cette valeur est du même ordre de grandeur que g, ce qui la rend facilement mesurable par l'accéléromètre du smartphone.
Il est important de noter que l'accéléromètre mesure en réalité l'accélération propre, c'est-à-dire la somme de l'accélération cinématique et de l'accélération gravitationnelle. Lorsque le smartphone est tenu verticalement, la composante gravitationnelle selon l'axe X est nulle (g est selon l'axe Y du smartphone), ce qui simplifie l'interprétation : l'accélération mesurée selon X correspond directement à l'accélération centripète.
Les écarts entre valeurs théoriques et expérimentales peuvent provenir de plusieurs facteurs : la difficulté à maintenir une vitesse de rotation parfaitement constante, le bras qui n'est pas parfaitement horizontal ou rigide, le chronométrage imprécis, ou encore les oscillations parasites du smartphone dans la main. Un écart relatif inférieur à 15 % constitue un bon résultat pour cette expérience.
Cette relation a = ω² × R est fondamentale en physique : elle intervient dans l'étude des orbites planétaires (lois de Kepler), des centrifugeuses utilisées en biologie et en médecine, des virages en voiture, et même dans la conception des manèges de parcs d'attractions où le facteur g ressenti est directement lié à l'accélération centripète.
Variantes possibles
- Faire varier la vitesse de rotation (tourner plus ou moins vite) et tracer a en fonction de ω² pour vérifier la proportionnalité.
- Modifier le rayon en tenant le smartphone à différentes distances du corps (bras plié, bras tendu) et comparer les accélérations.
- Comparer les résultats obtenus par plusieurs élèves ayant des longueurs de bras différentes.
- Utiliser la simulation Centrifugeuse de FizziQ Web pour comparer les résultats expérimentaux avec la simulation.
- Enregistrer simultanément les trois composantes de l'accélération pour analyser les composantes parasites.
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FAQ
Q: Pourquoi choisir l'axe X de l'accéléromètre plutôt qu'un autre axe ?
R: Lorsque le smartphone est tenu verticalement face à soi, l'axe Z est perpendiculaire à l'écran et pointe dans la direction radiale du cercle décrit. Il mesure donc directement l'accélération centripète, qui est dirigée vers le centre du cercle.
Q: L'accéléromètre ne mesure-t-il pas aussi la gravité ?
R: L'accéléromètre mesure l'accélération propre, qui inclut la gravité. Cependant, quand le smartphone est vertical, la gravité agit selon l'axe Y (vertical) et n'a pas de composante selon l'axe X (horizontal). La mesure sur Z donne donc directement l'accélération centripète.
Q: Combien de tours faut-il faire pour avoir un bon résultat ?
R: Trois tours constituent un bon compromis : suffisamment pour avoir une zone de rotation régulière exploitable, mais pas trop pour ne pas perdre l'équilibre ou se fatiguer. L'essentiel est de maintenir une vitesse de rotation la plus constante possible.
Q: Mon écart avec la théorie dépasse 20 %, est-ce normal ?
R: Un écart de 20 % est acceptable pour cette expérience. Les principales sources d'erreur sont l'irrégularité de la rotation, le bras qui n'est pas parfaitement horizontal ou rigide, et l'imprécision du chronométrage. Essaie de tourner plus régulièrement et demande à un camarade de chronométrer précisément.