Medindo Pi com seu smartphone: um desafio educacional estimulante
Por Christophe Chazot e Guillaume Lefranc - Atualização 15 de março de 2023
O dia 14 de março (3 a 14 no calendário americano) é tradicionalmente chamado de Dia do Pi, o dia do Pi. A oportunidade de saudarmos essa constante matemática que fascina o mundo inteiro há milênios e que encontramos, às vezes um pouco por mágica, em vários campos, como matemática ou física.
Neste artigo, propomos-lhe que aceite o seguinte desafio com os seus alunos: “Medir Pi com os sensores de um smartphone”. Claro que o objetivo é ser um pouco mais criativo do que medir o perímetro de uma roda!
Conteúdo:
Por que medir Picomum smartphone?
Surge uma pergunta: faz sentido tentar calcular Pi com os sensores de um smartphone? Afinal Pi é uma constante matemática cujo valor pode ser calculado com muita precisão com vários métodos amplamente comprovados. Segundo a Wikipedia, o recorde de precisão estabelecido em junho de 2022 é de mais de 100.000 bilhões de casas decimais!
Por que então você iria querer calcular Pi com instrumentos físicos cuja precisão é necessariamente muito menor do que seria necessário para estimar essa quantidade com precisão?
Propomo-nos a aceitar este desafio porque para além do seu lado lúdico apresenta muitos aspetos muito interessantes do ponto de vista educativo:
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estimular a criatividade e as habilidades experimentais dos alunos,
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trabalhar a noção de precisão e erro,
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Reflita sobre o conceito de constante.
Todos estão familiarizados com a famosa anedota de Niels Bohr sobre a medição da altura de um edifício. Da mesma forma, por meio deste desafio, pedimos aos alunos que analisem as fórmulas que utilizam e sejam criativos quanto aos meios de verificá-las. Quais sensores posso usar? Quais grandezas físicas estudar? Que sistema deve ser implementado para ser o mais preciso possível nas medições? Esta pesquisa é, obviamente, a base do método de investigação e uma forma divertida de despertar o interesse dos alunos.
Uma vez identificado o método, é a precisão dos sensores que permitirá alcançar a máxima precisão para o cálculo do Pi. Embora os sensores de smartphones sejam instrumentos de medição de alta qualidade, sua precisão raramente é inferior a um por cento. Que precisão os alunos podem esperar alcançar? Essa precisão depende do tipo de análise? Como melhorar a medição? Estas são as perguntas que os alunos devem fazer a si próprios em qualquer sessão de experimentação.
Finalmente, este exercício é uma oportunidade para refletir sobre a noção de constante. O que é uma constante? O que torna uma constante física diferente de uma constante matemática?
Calcular Pi com um smartphone é um exercício intelectual e manual muito estimulante e esperamos que você e seus alunos se divirtam fazendo isso tanto quanto nós. Apresentamos a seguir cinco experimentos que imaginamos e realizamos… seus alunos e você certamente encontrarão muitos outros!
Pi em física
Pi originou-se primeiro da geometria plana euclidiana e é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Esta definição geométrica evoluiu gradualmente e em particular a partir da análise, uma definição mais analítica e remoto da geometria foi proposto.
A constante Pi é encontrada em todos os ramos da ciência e em particular na física. A razão é simples: muitos fenômenos físicos envolvem formas circulares ou esféricas, como os movimentos orbitais dos planetas, as oscilações dos pêndulos, ondas sonoras, ... As equações que descrevem esses fenômenos incluirão termos que se referem à geometria circular e, portanto, para Pi.
Por exemplo, a fórmula que descreve o período de rotação T de um objeto em órbita em torno de um corpo de maior massa é dada por T = 2π√(r³/GM), ou o período de um pêndulo para oscilações fracas, T = 2π√( L/g), ou finalmente a lei de Coulomb que descreve a interação elétrica entre duas cargas elétricas, F = (q1 * q2) / (4πεr²).
De modo geral, Pi aparece assim em todas as fórmulas que invocam o conceito de círculo ou esfera, mas também nas fórmulas da física que descrevem a propagação das ondas. As equações de onda geralmente usam funções trigonométricas e mostram naturalmente o número pi.
No ensino médio, os alunos usam muitas fórmulas de física que usam o Pi. Será uma boa ideia fazer um inventário com eles para determinar quais poderiam ser usadas em coordenação com as medições feitas pelos sensores dos telefones celulares.
No restante deste artigo, detalhamos quatro métodos que usam sensores de smartphones. Existem muitos outros e estamos ouvindo suas soluções!
Hodômetro de Vitrúvio Pollio
Método: No século I aC, o engenheiro romano Marcus Vitruvius Pollio desenvolveu um precursor do hodômetro. Seu sistema, ligado à roda, fazia com que pequenas pedras caíssem em um receptáculo a cada volta da roda. Ao final do percurso, bastava multiplicar o número de pedras pela circunferência da roda para obter a distância exata percorrida.
Experimento: vamos usar essa ideia engenhosa para calcular Pi. Percorremos uma certa distância e contamos o número de voltas que a roda faz. Deduzimos pi da razão entre a distância e o diâmetro da roda.
Para calcular a distância percorrida, usamos o sensor GPS do smartphone. Como o FizziQ mede as variações de latitude e longitude de forma independente, usamos uma rota em linha reta orientada norte/sul ou leste/oeste. O ponto de chegada e partida estão na mesma longitude (latitude), então a distância percorrida é simplesmente o raio da terra multiplicado pela diferença em radianos entre a latitude (longitude) de partida e a de chegada.
Para contar o número de voltas percorridas pela roda, um cartão de plástico é inserido entre os raios da roda dianteira e dobrado em ângulo reto para que roce no garfo da roda dianteira. Isso produz um 'clack' audível facilmente identificável a cada giro da roda. Ao registrar o nível sonoro durante a corrida, identificamos as variações bruscas de intensidade sonora que correspondem a cada nova volta da roda. Um equivalente moderno ao sistema Vitruvius Polio.
Com o aplicativo FizziQ, o modo 'duo sensor' é usado para registrar simultaneamente o nível de som em db e a latitude. Você também pode usar o gatilho para que a gravação de dados comece 5 segundos após pressionar o botão e pare automaticamente após 20 segundos.
Resultados: Para realizar esta experiência caminhamos ao longo da avenue de la Reine no Bois de Vincennes com orientação norte/sul. Contamos 18 voltas para uma diferença de latitude de 0,35 miligraus, o que dá uma distância percorrida de 38,9 m (0,35/1000*40.000.000/360). A roda é do tipo 700, teoricamente um diâmetro de 70 cm. Na prática, com a compactação devido ao peso do ciclista, podemos considerar um diâmetro um pouco menor de 69 cm. Obtemos uma aproximação do valor de Pi de 3,13, ou seja, um erro inferior a 0,5%. O GPS tem uma precisão da ordem de 1m, então essa estimativa é bem satisfatória.
Pêndulo de newton
Método: o pêndulo é uma ferramenta experimental ideal para estudar a gravidade e a energia porque para pequenos movimentos, o período T da oscilação depende apenas do comprimento L do pêndulo e da constante gravitacional g: T = 2π√(L/g). Medindo o comprimento e o período e conhecendo g localmente, podemos deduzir Pi.
Experiência: Usamos um pêndulo de Newton para medir com precisão o período cronometrando as diferenças de tempo entre o som das bolas batendo. Outros métodos de medição de período podem ser usados com pêndulos simples, como detecção magnética ou por intensidade de luz.
No FizziQ, medimos a intensidade do som durante um período correspondente a várias colisões e, posicionando os cursores, calculamos o período médio das oscilações.
Resultados: Nesta experiência, calculamos o comprimento do pêndulo por trigonometria. O comprimento de um fio é de 14 cm, o diâmetro de uma bola de 2 cm e o espaçamento de 8,5 cm, ou seja, um comprimento de pêndulo de 14,35 cm. A frequência medida no gráfico é 0,755s, o que dá uma aproximação de Pi em 3,121.
A vantagem deste método é dupla: a precisão do período é boa, pois a frequência de aquisição do nível sonoro é de 200 hertz; é menos sensível à determinação do comprimento do que o método anterior. Um erro de 10% no comprimento leva a um erro de Pi de 3% contra 10% de erro no diâmetro da roda com o método anterior. Será do nosso interesse trabalhar com pêndulos grandes.
A centrífuga
Método: aceleração centrípeta é a aceleração que mantém um objeto em movimento circular uniforme em uma trajetória circular. Para o movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta a é dada pela fórmula a = 4π²ω²R, onde ω é a velocidade do objeto em rotação e R é o raio do círculo que está sendo descrito. Ao medir a aceleração e a velocidade de rotação de uma roda de bicicleta, o número Pi pode ser deduzido da fórmula.
Experimento: Para obter as rotações mais regulares possíveis, usaremos uma roda de bicicleta montada em um lado para ficar estável. O smartphone é fixado na roda com um elástico. A maioria dos smartphones está equipada com sensores de acelerômetro e pode medir a aceleração centrípeta.
A velocidade de rotação será detectada usando o giroscópio no modo duo.
Resultados: o gráfico de registro na aplicação FizziQ da aceleração transversal e do campo magnético nos dá informações sobre a aceleração centrípeta e a velocidade de rotação. Em nosso teste, a velocidade de rotação é de 0,481 rotação/s. O diâmetro da roda é de 34 cm e a aceleração média é de 3,20 m/s². Obtemos uma estimativa para Pi de 3,18.
Esse resultado é, em última análise, relativamente preciso, visto que usamos dois instrumentos para esse cálculo.
Efeito Doppler
Método: a medição prévia requer conhecer o raio da roda. É possível evitar o uso de um medidor medindo a velocidade de um objeto em movimento preso à periferia da roda medindo o efeito Doppler. A velocidade tangencial do móvel é v = cΔf/f e por outro lado v = 2πRω com ω sendo a velocidade de rotação. Por outro lado, a aceleração centrípeta é a = v²/R. Portanto a = 2πωcΔf/f
Experimento: fixamos uma roda horizontalmente em uma bancada para fazer os experimentos. Com um elástico prendemos um smartphone na roda que irá registrar a aceleração centrípeta. Este celular também emite som de 680 hertz da biblioteca de sons. Sob o volante colocamos um segundo smartphone que mede a frequência. No FizziQ, ativamos a opção "Cálculo rápido de frequências" na guia Configurações > Amostragem.
Esta opção permite gravar as frequências fundamentais
com amostragem de 40 hertz. Iniciamos as gravações da aceleração centrípeta e da frequência, então giramos a roda vigorosamente.
Resultados: Os gráficos anexos fornecem os valores da aceleração e da medição da frequência. Temos um deslocamento de Δf = 4 hertz e uma aceleração média de 13,1m/s². O período de rotação da roda é medido no gráfico de frequência, ou seja, 0,98 s. Obtemos um valor de Pi: π = 3,23. Pode-se ver que esta medição é muito sensível para a determinação da mudança de frequência devido ao efeito Doppler. Por outro lado, não utiliza a noção de medição de comprimento!
Viagem probabilística a Monte-Carlo
Método: O cálculo de π pelo método de Monte-Carlo consiste em sortear números x e y aleatoriamente no intervalo [0;1]. A probabilidade de um ponto de coordenadas (x,y) ter norma menor que 1 é π / 4. Usamos os sensores como geradores de números aleatórios para estimar Pi.
Experiência: quando estudamos os dados produzidos pelo acelerômetro ou giroscópio de um smartphone, descobrimos que eles contêm um grande número de casas decimais, muitas vezes mais de 10. Esses números obviamente não são significativos e são o resultado do ruído no sensor. Eles são aleatórios. Usamos essa propriedade para gerar números aleatórios e, usando o método de Monte Carlo, fornecemos uma estimativa de Pi.
Usamos o modo duo para registrar simultaneamente a aceleração horizontal e a aceleração vertical no FizziQ. Colocamos o smartphone em uma mesa e registramos os dados por 15 segundos. Depois de registrar os dados no caderno de experimentos, o caderno é exportado no formato CSV.
Em uma planilha, criamos duas novas colunas que capturam 3 dígitos no meio da cadeia de dados. Por exemplo, se a célula que contém a aceleração x for A1, usaremos a seguinte fórmula para criar um número entre 0 e 1000 composto por caracteres na 4ª, 5ª e 6ª posição:
"=VALOR(MÉDIO(A1,5,1)&MÉDIO(A1,6,1)&MÉDIO(A1,7,1))"
Criamos uma coluna para cada aceleração, depois calculamos a raiz quadrada da soma dos quadrados. Finalmente contamos o número de ocorrências, n1 menor que 1000.
Pi = 4*n1/N onde N é o número total de observações.
Resultados: realizamos esta experiência com 2430 dados correspondentes a uma gravação de aproximadamente 20 segundos. Obtemos para Pi o valor 3,164. Podemos fazer melhor? Infelizmente, este algoritmo converge muito lentamente: para obter uma precisão de 0,001 com um intervalo de confiança de 95%, seriam necessários cerca de 1 milhão de sorteios, portanto, estamos longe da marca!
Conclusão
Apresentamos cinco métodos para medir pi, mas existem muitos outros usando outros sensores ou outras noções. Apelando para a criatividade dos alunos e utilizando um simples smartphone, vemos que podemos rapidamente configurar manipulações extremamente interessantes e abrir muitos caminhos educativos. A medição do Pi é uma oportunidade para abordar as equações fundamentais da física com outro olhar, para refletir sobre as noções de constante, precisão ou consistência dos dados, e para que os seus alunos realizem sessões de experimentação com as quais podem continuar. . Cabe a eles jogar!