Medir Pi con tu smartphone: un estimulante desafío educativo
Por Christophe Chazot y Guillaume Lefranc - Actualización 15 de marzo de 2023
El 14 de marzo (3-14 en el calendario americano) es tradicionalmente llamado Pi Day, el día de Pi. La oportunidad para nosotros de saludar a esta constante matemática que ha fascinado al mundo entero durante milenios y que encontramos, a veces un poco por arte de magia, en diversos campos como las matemáticas o la física.
En este artículo te sugerimos que abordes el siguiente desafío con tus alumnos: “Mide Pi con los sensores de un teléfono inteligente”. Por supuesto, el objetivo es ser un poco más creativo que medir el perímetro de una rueda.
Indice :
¿Por qué medir Pi?conun teléfono inteligente?
Surge una pregunta: ¿tiene sentido intentar calcular Pi con los sensores de un teléfono inteligente?, después de todo, Pi es una constante matemática cuyo valor se puede calcular con mucha precisión con varios métodos ampliamente probados. Según Wikipedia, ¡el récord de precisión establecido en junio de 2022 es de más de 100,000 billones de decimales!
¿Por qué entonces querrías calcular Pi con instrumentos físicos cuya precisión es necesariamente mucho menor que la que sería necesaria para estimar esta cantidad con precisión?
Te proponemos asumir este reto porque además de su vertiente lúdica presenta muchos aspectos muy interesantes desde el punto de vista educativo:
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estimular la creatividad y las habilidades experimentales de los estudiantes,
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trabajar sobre la noción de precisión y error,
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Reflexionar sobre el concepto de constante.
Todo el mundo está familiarizado con la famosa anécdota de Niels Bohr sobre cómo medir la altura de un edificio. Del mismo modo, a través de este desafío, les pedimos a los estudiantes que analicen las fórmulas que utilizan y que sean creativos en los medios para verificarlas. ¿Qué sensores puedo usar? ¿Qué magnitudes físicas estudiar? ¿Qué sistema se debe poner en marcha para ser lo más preciso posible en las mediciones? Esta investigación es, por supuesto, la base del método de investigación y una forma divertida de interesar a los estudiantes.
Una vez que se ha identificado el método, es la precisión de los sensores la que permitirá lograr la máxima precisión para el cálculo de Pi. Aunque los sensores de los teléfonos inteligentes son instrumentos de medición de alta calidad, su precisión rara vez es inferior al uno por ciento. ¿Qué precisión pueden esperar lograr los estudiantes? ¿Esta precisión depende del tipo de análisis? ¿Cómo mejorar la medición? Estas son las preguntas que los estudiantes deben hacerse para cualquier sesión de experimentación.
Finalmente, este ejercicio es una oportunidad para reflexionar sobre la noción de constante. ¿Qué es una constante? ¿Qué hace que una constante física sea diferente de una constante matemática?
Calcular Pi con un teléfono inteligente es un ejercicio intelectual y manual muy estimulante y esperamos que usted y sus alumnos se diviertan tanto como nosotros. Presentamos a continuación cinco experimentos que hemos imaginado y realizado… ¡seguro que tus alumnos y tú mismo encontrarán muchos otros!
pi en física
Pi se originó primero a partir de la geometría del plano euclidiano y se define como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Esta definición geométrica ha ido evolucionando paulatinamente y en particular a partir del análisis, una definición más analítica y se ha propuesto un control remoto de la geometría.
La constante Pi se encuentra en todas las ramas de la ciencia y en particular en la física. La razón es sencilla: muchos fenómenos físicos implican formas circulares o esféricas, como los movimientos orbitales de los planetas, las oscilaciones de los péndulos, las ondas sonoras,... Las ecuaciones que describen estos fenómenos incluirán términos que se refieran a la geometría circular, y por tanto a Pi.
Por ejemplo, la fórmula que describe el período de rotación T de un objeto en órbita alrededor de un cuerpo más masivo está dada por T = 2π√(r³/GM), o el período de un péndulo para oscilaciones débiles, T = 2π√( L/g), o finalmente la ley de Coulomb que describe la interacción eléctrica entre dos cargas eléctricas, F = (q1 * q2) / (4πεr²).
De manera general, Pi aparece pues en todas las fórmulas que apelan al concepto de círculo o esfera pero también aparece en las fórmulas de la física que describen la propagación de las ondas. Las ecuaciones de onda a menudo usan funciones trigonométricas y, naturalmente, muestran el número pi.
En secundaria, los estudiantes utilizan muchas fórmulas de física que recurren a Pi. Será una buena idea hacer un inventario con ellos para determinar cuáles podrían usarse en coordinación con las mediciones realizadas por sensores de teléfonos móviles.
En el resto de este artículo, detallamos cuatro métodos que utilizan sensores de teléfonos inteligentes. ¡Hay muchos otros y estamos escuchando sus soluciones!
El cuentakilómetros de Vitruvio Pollio
Método: En el siglo I a. C., el ingeniero romano Marcus Vitruvius Pollio había desarrollado un precursor del odómetro. Su sistema, unido a la rueda, provocaba que pequeñas piedras cayeran en un receptáculo con cada giro de la rueda. Al final del recorrido, bastaba multiplicar el número de piedras por la circunferencia de la rueda para obtener la distancia precisa recorrida.
Experimento: Usemos esta ingeniosa idea para calcular Pi. Pedaleamos una cierta distancia y contamos el número de revoluciones que da la rueda. Deducimos pi de la relación entre la distancia y el diámetro de la rueda.
Para calcular la distancia recorrida, utilizamos el sensor GPS del smartphone. Como FizziQ mide las variaciones de latitud y longitud de forma independiente, utilizamos una ruta en línea recta orientada de norte a sur o de este a oeste. El punto de llegada y el de partida están en la misma longitud (latitud), por lo que la distancia recorrida es simplemente el radio de la tierra multiplicado por la diferencia en radianes entre la latitud (longitud) de partida y la de llegada.
Para contar el número de revoluciones que ha recorrido la rueda, se inserta una tarjeta de plástico entre los radios de la rueda delantera y se dobla en ángulo recto para que roce contra la horquilla de la rueda delantera. Esto produce un 'clack' audible fácilmente identificable con cada giro de la rueda. Al registrar el nivel de sonido durante la carrera, identificamos las variaciones repentinas en la intensidad del sonido que corresponden a cada nueva revolución de la rueda. Un equivalente moderno al sistema Vitruvius Polio.
Con la aplicación FizziQ, el modo 'duo sensor' se usa para registrar simultáneamente el nivel de sonido en db y la latitud. También puede usar el gatillo para que la grabación de datos comience 5 segundos después de presionar el botón y se detenga automáticamente después de 20 segundos.
Resultados: Para llevar a cabo este experimento caminamos por la avenida de la Reine en el Bois de Vincennes con orientación norte/sur. Contamos 18 vueltas para una diferencia de latitud de 0,35 miligrados, lo que da una distancia recorrida de 38,9 m (0,35/1000*40.000.000/360). La rueda es del tipo 700, teóricamente un diámetro de 70 cm. En la práctica, con la compactación por el peso del ciclista, podemos considerar un diámetro algo menor de 69 cm. Obtenemos una aproximación del valor de Pi de 3,13, es decir, un error inferior al 0,5%. El GPS tiene una precisión del orden de 1m, por lo que esta estimación es muy satisfactoria.
Péndulo de newton
Método: el péndulo es una herramienta experimental ideal para estudiar la gravedad y la energía porque para movimientos pequeños, el período T de la oscilación solo depende de la longitud L del péndulo y la constante gravitatoria g: T = 2π√(L/g). Midiendo la longitud y el período y conociendo g localmente, podemos deducir Pi.
Experimento: Usamos un péndulo de Newton para medir con precisión el período cronometrando las diferencias de tiempo entre el sonido de las bolas al golpear. Se pueden usar otros métodos de medición del período con péndulos simples, como la detección magnética o la intensidad de la luz.
En FizziQ, medimos la intensidad del sonido durante un período correspondiente a varias colisiones, luego, al colocar los cursores, calculamos el período promedio de las oscilaciones.
Resultados: En este experimento, calculamos la longitud del péndulo por trigonometría. La longitud de un alambre es de 14 cm, el diámetro de una bola de 2 cm y el espaciado de 8,5 cm, es decir, una longitud de péndulo de 14,35 cm. La frecuencia medida en el gráfico es 0,755 s, lo que da una aproximación de Pi en 3,121.
La ventaja de este método es doble: la precisión del período es buena ya que la frecuencia de adquisición del nivel sonoro es de 200 hercios; es menos sensible a la determinación de la longitud que el método anterior. Un error del 10% en la longitud conduce a un error de Pi del 3% frente al 10% de error en el diámetro de la rueda con el método anterior. Será de nuestro interés trabajar con péndulos grandes.
La centrífuga
Método: aceleración centrípeta es la aceleración que mantiene un objeto en movimiento circular uniforme en una trayectoria circular. Para el movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta a viene dada por la fórmula a = 4π²ω²R, donde ω es la velocidad del objeto giratorio y R es el radio del círculo que se describe. Al medir la aceleración y la velocidad de rotación de una rueda de bicicleta, el número Pi se puede deducir de la fórmula.
Experimento: Para lograr rotaciones lo más regulares posibles, usaremos una rueda de bicicleta montada en un lado para que sea estable. El teléfono inteligente se fija en la rueda con una banda elástica. La mayoría de los teléfonos inteligentes están equipados con sensores de acelerómetro y pueden medir la aceleración centrípeta.
La velocidad de rotación se detectará utilizando el giroscopio en modo dúo.
Resultados: la gráfica de registro en la aplicación FizziQ de la aceleración transversal y el campo magnético nos brinda información sobre la aceleración centrípeta y la velocidad de rotación. En nuestra prueba, la velocidad de rotación es de 0,481 rotaciones/s. El diámetro de la rueda es de 34 cm y la aceleración media es de 3,20 m/s². Obtenemos una estimación para Pi de 3,18.
En última instancia, este resultado es relativamente preciso dado que utilizamos dos instrumentos para este cálculo.
Efecto Doppler
Método: la medida anterior requiere conocer el radio de la rueda. Es posible evitar el uso de un medidor midiendo la velocidad de un objeto en movimiento unido a la periferia de la rueda midiendo el efecto Doppler. La velocidad tangencial del móvil es v = cΔf/f y por otro lado v = 2πRω siendo ω la velocidad de rotación. Por otro lado la aceleración centrípeta es a = v²/R. Por lo tanto a = 2πωcΔf/f
Experimento: colocamos una rueda horizontalmente en un banco de trabajo para hacer los experimentos. Con una goma pegamos un smartphone a la rueda que registrará la aceleración centrípeta. Este móvil también emite sonido de 680 hercios desde la biblioteca de sonido. Debajo del volante colocamos un segundo teléfono inteligente que mide la frecuencia. En FizziQ activamos la opción "Cálculo rápido de frecuencias" en la pestaña Ajustes > Muestreo.
Esta opción le permite registrar las frecuencias fundamentales
con muestreo de 40 hercios. Iniciamos los registros de la aceleración centrípeta y la frecuencia, luego giramos la rueda con fuerza.
Resultados: Los gráficos adjuntos dan los valores de la aceleración y la medición de la frecuencia. Tenemos un desplazamiento de Δf = 4 hercios y una aceleración media de 13,1 m/s². El período de rotación de la rueda se mide en el gráfico de frecuencia, es decir, 0,98 s. Obtenemos un valor de Pi: π = 3,23. Se puede observar que esta medida es muy sensible a la determinación del desplazamiento de frecuencia debido al efecto Doppler. Por otro lado, ¡no utiliza la noción de medida de longitud!
Viaje probabilístico a Monte-Carlo
Método: El cálculo de π por el método de Monte-Carlo consiste en sacar al azar números x e y en el intervalo [0;1]. La probabilidad de que un punto de coordenadas (x,y) tenga una norma menor que 1 es π / 4. Usamos los sensores como generadores de números aleatorios para estimar Pi.
Experiencia: cuando estudiamos los datos producidos por el acelerómetro o el giroscopio de un teléfono inteligente, encontramos que contienen una gran cantidad de decimales, a menudo más de 10. Estos números, por supuesto, no son significativos y son el resultado del ruido en el sensor. Son aleatorios. Usamos esta propiedad para generar números aleatorios y usando el método de Monte Carlo, damos una estimación de Pi.
Usamos el modo dúo para registrar simultáneamente la aceleración horizontal y la aceleración vertical en FizziQ. Ponemos el teléfono inteligente en una mesa, luego registramos los datos durante 15 segundos. Después de registrar los datos en el cuaderno de experimentos, el cuaderno se exporta en formato CSV.
En una hoja de cálculo, creamos dos nuevas columnas que capturan 3 dígitos en el medio de la cadena de datos. Por ejemplo si la celda que contiene la aceleración x es A1, usaremos la siguiente fórmula para crear un número entre 0 y 1000 compuesto por caracteres en 4°, 5° y 6° posición:
"=VALOR(MEDIO(A1,5,1)&MEDIO(A1,6,1)&MEDIO(A1,7,1))"
Creamos una columna para cada aceleración, luego calculamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. Finalmente contamos el número de ocurrencias, n1 menos de 1000.
Pi = 4*n1/N donde N es el número total de observaciones.
Resultados: realizamos este experimento con 2430 datos correspondientes a un registro de aproximadamente 20 segundos. Obtenemos para Pi el valor 3.164. ¿Podemos hacerlo mejor? Desafortunadamente, este algoritmo converge muy lentamente: para obtener una precisión de 0.001 con un intervalo de confianza del 95%, se necesitaría alrededor de 1 millón de sorteos, ¡así que estamos lejos de la meta!
Conclusión
Hemos presentado cinco métodos para medir pi, pero hay muchos otros que usan otros sensores u otras nociones. Al apelar a la creatividad de los estudiantes y usar un teléfono inteligente simple, vemos que podemos configurar rápidamente manipulaciones extremadamente interesantes y abrir muchas vías educativas. La medición de Pi es una oportunidad para abordar las ecuaciones fundamentales de la física con otra mirada, para reflexionar sobre las nociones de constantes, precisión o consistencia de los datos, y para que tus alumnos realicen sesiones de experimentación que pueden continuar con sus propios smartphones. . ¡Depende de ellos jugar!