Cycloide
Etude expérimentale de la cycloïde
Ebene :
Lycée
Autor:
Guillaume Lefranc
Objectif pédagogique :
Cette activité permet aux élèves de découvrir la courbe mathématique qu'est la cycloïde et ses propriétés géométriques. Elle développe la capacité à analyser un mouvement complexe en utilisant des outils numériques.
Concepts abordés :
Cycloïde; Mouvement de rotation et de translation; Périodicité; Paramétrage de courbes; Cinématique du mouvement composé
Description de l'activité :
L'élève étudie la trajectoire d'un point situé sur le bord d'une roue de vélo en mouvement à l'aide du module d'analyse cinématique de FizziQ. À partir d'une vidéo réelle ou de la bibliothèque de l'application l'élève effectue un pointage précis du mouvement image par image puis analyse la forme de la courbe obtenue ses caractéristiques de périodicité et sa hauteur maximale par rapport au sol.
Matériel requis :
Smartphone avec l'application FizziQ; Vidéo d'un vélo en mouvement ou utilisation de la vidéo 'Cycloïde' de la bibliothèque FizziQ; Cahier d'expérience pour l'analyse des résultats
Eclairage scientifique
La cycloïde est une courbe mathématique décrite par un point fixé sur la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite horizontale. Paramétriquement, pour un cercle de rayon r, elle s'exprime par: x(t) = r(t - sin t) et y(t) = r(1 - cos t). Cette courbe possède plusieurs propriétés remarquables: sa hauteur maximale est égale à 2r (deux fois le rayon du cercle) et sa période horizontale est égale à 2πr. Historiquement, elle a fasciné les mathématiciens comme Pascal et Huygens pour ses propriétés de brachistochrone (courbe de descente la plus rapide) et de tautochrone (temps de descente indépendant du point de départ). L'outil d'analyse cinématique de FizziQ permet de vérifier expérimentalement ces propriétés théoriques en suivant point par point la trajectoire réelle d'un point sur une roue. Lorsque le point de suivi est déplacé vers l'intérieur de la roue (sur un rayon), la courbe obtenue devient une cycloïde raccourcie (ou trochoïde). Au centre de la roue, le mouvement devient une simple translation rectiligne uniforme. Cette expérience illustre parfaitement la composition d'un mouvement de rotation et de translation, concept fondamental en cinématique.