Ley de los senos
Ley de los senos
Utilizar la ley de los senos para medir las longitudes de un triángulo
¿Cómo medir una distancia difícil de alcanzar sin acercarse directamente?
Desde hace siglos, los geómetras utilizan técnicas de triangulación para medir distancias a partir de ángulos.
En esta actividad, vas a utilizar el teodolito de tu smartphone para medir los ángulos de un triángulo real y aplicar la ley de los senos para calcular sus dimensiones.
Descripción de la actividad:
El alumno utiliza el teodolito de FizziQ para medir los ángulos entre tres puntos fijos en el patio de recreo. Actividad adaptada al liceo. Utilizando el teodolito, los alumnos aplican la ley de los senos para medir las longitudes de un triángulo en el patio de recreo.
Guillaume Lefranc
Autor:
Duración:
Lo que harán los estudiantes:
'- Comprender la utilización práctica de la ley de los senos en un triángulo.
- Medir ángulos con la ayuda de un teodolito digital.
- Calcular distancias a partir de medidas indirectas.
- Relacionar un modelo matemático con una situación real de medición.
Conceptos científicos:
Trigonometría; Ley de los senos; Teodolito; Triangulación; Medidas indirectas
Sensores:
'- Magnetómetro
- Teodolito digital (azimut)
Material necesario:
Smartphone con la aplicación FizziQ; Un espacio abierto con tres puntos de referencia visibles; Una cinta métrica o un medio para medir una distancia; Material de dibujo (papel, regla, transportador); Cuaderno de experiencias FizziQ
Procedimiento experimental:
1. En el patio de recreo, identifica tres lugares fácilmente reconocibles y relativamente alejados entre sí (árboles, un poste, porterías, la entrada del patio, …)
2. Sitúate en uno de estos puntos y mide el azimut (en la herramienta teodolito) entre este punto y los otros 2 puntos; guarda estas 2 observaciones en tu cuaderno
3. Repite las mismas mediciones para cada uno de los otros 2 puntos y guarda tus resultados
4. Mide con tus pasos (o un metro) una de las tres distancias del triángulo y anota el resultado
5. En una hoja de papel, traza un esquema correspondiente al triángulo que has elegido; reporta los ángulos para cada vértice como la diferencia entre las 2 medidas tomadas
6. Aplica la ley de los senos y completa tu esquema con las distancias y los ángulos calculados; toma tu esquema en foto
7. Anota tus resultados y las fotos correspondientes en tu cuaderno de resultados y compártelo con tu profesor
Resultados esperados:
Los ángulos medidos entre los tres puntos permiten reconstruir un triángulo representativo de la situación real.
Utilizando la ley de los senos, es posible calcular las longitudes de los lados no medidos directamente.
Las longitudes calculadas son cercanas a las distancias reales, con una diferencia posible debida a los errores de medición de los ángulos o de la distancia inicial.
Este experimento muestra que es posible determinar distancias indirectamente a partir de ángulos medidos.
Preguntas científicas:
'- ¿Cómo se puede determinar una distancia sin medirla directamente?
- ¿Por qué la precisión de los ángulos es esencial en la triangulación?
- ¿Cómo permite la ley de los senos calcular los lados de un triángulo?
- ¿Cuáles son las fuentes de error posibles durante las mediciones de azimut?
Explicaciones científicas:
La ley de los senos es un teorema fundamental de trigonometría que establece que en todo triángulo, las razones entre las longitudes de los lados y los senos de los ángulos opuestos son iguales: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Esta relación permite determinar las dimensiones de un triángulo cuando se conocen ciertos elementos. En esta actividad, los alumnos miden tres ángulos con el teodolito de FizziQ y una distancia con un metro o a pasos. La ley de los senos permite entonces calcular las otras dos distancias. El teodolito de FizziQ utiliza el magnetómetro del smartphone para medir el azimut, es decir, el ángulo horizontal respecto al norte magnético. La diferencia de azimut entre dos puntos de observación da el ángulo subtendido. La precisión del magnetómetro del smartphone es del orden de 1 a 3 grados, lo que introduce una incertidumbre en los cálculos que es tanto mayor cuanto más pequeños son los ángulos. Por eso se recomienda elegir triángulos con lados de longitudes comparables, evitando triángulos muy alargados. Históricamente, la triangulación fue utilizada por los geómetras para las mediciones cartográficas de los siglos XVII al XIX. El principio era el mismo: medir ángulos con un teodolito óptico y calcular las distancias. Este método permitió medir por primera vez la circunferencia de la Tierra.
Actividades de ampliación:
'- Realizar la triangulación en un terreno más grande para probar la influencia de las distancias.
- Comparar las distancias calculadas con medidas directas con cinta métrica.
- Realizar un esquema digital del triángulo y verificar los resultados con un software de geometría.
Preguntas frecuentes:
Q: ¿Qué es la trigonometría?
R: Esta relación permite determinar las dimensiones de un triángulo cuando se conocen algunos de sus elementos, especialmente en situaciones donde ciertas medidas directas son imposibles.
Q: ¿Qué sensores de FizziQ se utilizan en esta actividad?
R: FizziQ da acceso a más de 50 tipos de medidas a través de los sensores integrados del smartphone: acelerómetro, micrófono, magnetómetro, barómetro, GPS, sensor de luminosidad y cámara. La aplicación es gratuita y funciona en iOS y Android.
Q: ¿Cuáles son las principales fuentes de error?
R: La precisión del teodolito digital depende de la calibración del magnetómetro y de la estabilidad del smartphone durante la medición.